TIMO Grade 4 Study PlanKế hoạch ôn thi TIMO Khối 4

A 26-day plan for a 9-year-old, built from the Fermat Education practice book. Each of the 5 syllabus topics gets 3 days of lessons and exercises, with reviews, rest days and 2 full practice tests.Kế hoạch 26 ngày cho học sinh 9 tuổi, xây dựng từ sách ôn thi của Fermat Education. Mỗi chủ đề trong 5 chủ đề của khung chương trình có 3 ngày học và luyện tập, cùng các buổi ôn tập, ngày nghỉ và 2 bài thi thử đầy đủ.

Start Day 1Bắt đầu Ngày 1

The plan at a glanceTổng quan kế hoạch

TopicChủ đềFirstThứ nhấtSecondThứ haiThirdThứ ba
Logical thinkingTư duy lô-gicDayNgày 1: patterns, calendar and agesdãy có quy luật, ngày tháng và tuổi○ Not done○ Chưa xongDayNgày 2: working backward, pretend they are all the samelàm ngược lại, giả thiết tạm○ Not done○ Chưa xongDayNgày 3: picture and table patterns, averages, mixed practice and timed book setbảng và hình có quy luật, trung bình cộng, luyện tập tổng hợp và bài trong sách tính giờ○ Not done○ Chưa xong
ArithmeticSố họcDayNgày 4: find the shared number, evenly spaced sumstìm số chung, tổng dãy số cách đều○ Not done○ Chưa xongDayNgày 5: doubling sums, friendly numbers and digit puzzlestổng dãy gấp đôi, tính nhanh và phép tính ẩn chữ số○ Not done○ Chưa xongDayNgày 6: mixed practice and timed book setluyện tập tổng hợp và bài trong sách tính giờ○ Not done○ Chưa xong
Number theoryLý thuyết sốDayNgày 9: divisibility and factors, new operation symbolschia hết và ước, phép toán mới○ Not done○ Chưa xongDayNgày 10: sum and ratio, difference and ratio, last digitstổng tỉ và hiệu tỉ, chữ số tận cùng○ Not done○ Chưa xongDayNgày 11: sharing with leftovers, mixed practice and timed book setchia có dư, luyện tập tổng hợp và bài trong sách tính giờ○ Not done○ Chưa xong
GeometryHình họcDayNgày 12: counting rectangles, solids and cube stacksđếm hình chữ nhật, hình khối và chồng hình lập phương○ Not done○ Chưa xongDayNgày 13: perimeter and area, shapes made of rectangles, biggest and smallestchu vi và diện tích, hình ghép từ hình chữ nhật, lớn nhất và nhỏ nhất○ Not done○ Chưa xongDayNgày 15: surface area of cube stacks, counting right-angled triangles, mixed practice and timed book setdiện tích bề mặt, đếm hình tam giác vuông, luyện tập tổng hợp và bài trong sách tính giờ○ Not done○ Chưa xong
CombinatoricsTổ hợpDayNgày 17: routes and stairs, counting special numbersđường đi và cầu thang, đếm các số đặc biệt○ Not done○ Chưa xongDayNgày 18: worst-case thinking, making numberstrường hợp xấu nhất, thành lập số○ Not done○ Chưa xongDayNgày 19: largest and smallest from digits, mixed practice and timed book setlớn nhất và nhỏ nhất từ các chữ số, luyện tập tổng hợp và bài trong sách tính giờ○ Not done○ Chưa xong
ReviewsÔn tậpDayNgày 8: logic and arithmeticlô-gic và số học○ Not done○ Chưa xongDayNgày 16: number theory and geometrylý thuyết số và hình học○ Not done○ Chưa xongDayNgày 26: final review and test-day tipsôn tập cuối và mẹo ngày thi○ Not done○ Chưa xong
Preliminary testThi Vòng loạiDayNgày 21: Preliminary paper 5Đề vòng loại số 5○ Not done○ Chưa xongDayNgày 22: fix mistakessửa lỗi○ Not done○ Chưa xongTest historyLịch sử bài thi: record the resultghi kết quả
Heat testThi Vòng quốc giaDayNgày 24: Heat paper 6Đề vòng quốc gia số 6○ Not done○ Chưa xongDayNgày 25: fix mistakessửa lỗi○ Not done○ Chưa xongTest historyLịch sử bài thi: record the resultghi kết quả

Rest days: 7, 14, 20, 23. Stretch or shorten the plan to fit your test date.Ngày nghỉ: 7, 14, 20, 23. Hãy kéo dài hoặc rút ngắn kế hoạch cho phù hợp với ngày thi.

How the days workCách học mỗi ngày

  • Core, More practice and Challenge:Cơ bản, Luyện thêm và Thử thách: every lesson has all three. Core is required. Open the others when there is time, or when Core feels easy.mỗi bài đều có cả ba phần. Phần Cơ bản là bắt buộc. Mở các phần khác khi còn thời gian hoặc khi phần Cơ bản đã thấy dễ.
  • Checking:Kiểm tra: type an answer and press Check, or use Show answer to see the working. Nothing typed is saved.nhập đáp án rồi bấm Kiểm tra, hoặc bấm Xem đáp án để xem cách giải. Nội dung nhập không được lưu.
  • Book questions:Câu trong sách: each list shows the page of the paper and of its answer key. Harder ones come from the Heat Round.mỗi danh sách ghi trang của đề và trang đáp án. Các câu khó hơn lấy từ Vòng quốc gia.
  • Pace:Nhịp độ: stop when attention fades, and carry the rest to the next day.dừng lại khi con mất tập trung, và chuyển phần còn lại sang hôm sau.
  • Mistake notebook:Sổ ghi lỗi sai: for each wrong answer, write the question number, the lesson and what went wrong. Redo it two days later.với mỗi câu sai, ghi số câu, bài học và chỗ sai. Làm lại sau hai ngày.
  • Printing:In: the Print button on a day prints that day, with the answers on a separate page.nút In trong mỗi ngày sẽ in ngày đó, với đáp án ở trang riêng.

Guide for parentsHướng dẫn cho phụ huynh

  • Read "Why it works" together. A child can use a method before fully understanding it, so come back to it later without pressure.Hãy cùng đọc phần "Vì sao đúng". Con có thể dùng một cách làm trước khi hiểu hết, nên hãy quay lại sau mà không tạo áp lực.
  • Ask "How did you get that?" more often than "Is it right?". Explaining out loud shows what was really understood.Hãy hỏi "Con làm thế nào?" nhiều hơn "Có đúng không?". Giải thích thành lời cho thấy con thật sự hiểu đến đâu.
  • When your child is stuck, try a smaller version with real objects before giving the method.Khi con bị vướng, hãy thử một bài nhỏ hơn với đồ vật thật trước khi chỉ cách làm.
  • Praise careful thinking and fixing mistakes, not only scores. Olympiad questions are meant to be hard.Hãy khen sự suy nghĩ cẩn thận và việc sửa lỗi, không chỉ điểm số. Câu hỏi Olympic vốn dĩ khó.
  • Some questions in the book need ideas from later school years, such as Heat 2 Q19 and Heat 7 Q17. Skip these.Một số câu trong sách cần kiến thức của các lớp sau, như Quốc gia đề 2 câu 19 và Quốc gia đề 7 câu 17. Hãy bỏ qua các câu này.

What the test looks likeCấu trúc đề thi

Preliminary RoundVòng loạiHeat (National) RoundVòng quốc gia
QuestionsSố câu25, worth 4 marks each25 câu, mỗi câu 4 điểm25, worth 4 marks each25 câu, mỗi câu 4 điểm
TopicsChủ đề5 questions from each of the 5 topicsMỗi chủ đề trong 5 chủ đề có 5 câu
TimeThời gian60 minutes (about 2½ min each)60 phút (khoảng 2,5 phút mỗi câu)90 minutes (about 3½ min each)90 phút (khoảng 3,5 phút mỗi câu)
AnswersDạng đềMultiple choiceTrắc nghiệmWrite in the answerĐiền đáp án
LanguageNgôn ngữEnglish and VietnameseSong ngữ Anh – ViệtEnglish, with key Vietnamese termsTiếng Anh, có trích dẫn thuật ngữ tiếng Việt

Heat Round award guide from the book: Gold 80+, Silver 60+, Bronze 40+, Merit 20+. The book says these marks can change based on actual results.Mốc điểm đạt giải Vòng quốc gia theo sách: Vàng từ 80, Bạc từ 60, Đồng từ 40, Khuyến khích từ 20. Sách cho biết các mốc này có thể thay đổi theo kết quả thi thực tế.

More practice:Luyện thêm: Heat papers 5 and 7 are mostly unused in this plan, so they work well as extra tests.Đề vòng quốc gia số 5 và 7 hầu như chưa dùng trong kế hoạch này, nên rất phù hợp để thi thử thêm.

Finding papers in the bookTìm đề trong sách

Page numbers are the ones printed in the book. In the PDF, add 1.Số trang là số in trong sách. Trong tệp PDF, hãy cộng thêm 1.

PaperĐềPrelim questionsĐề vòng loạiPrelim solutionsLời giải vòng loạiHeat questionsĐề vòng quốc giaHeat solutionsLời giải vòng quốc gia
15603794
2106541100
3157044106
4207447111
5247850116
6288354121
7328857126

Answer keys run from page 131 (Prelim 1) to page 144 (Heat 7), one page per paper.Đáp án từ trang 131 (Vòng loại đề 1) đến trang 144 (Quốc gia đề 7), mỗi đề một trang.

DayNgày 1
Logical thinking, day 1 of 3Tư duy lô-gic, ngày 1/3

Patterns and Calendar and agesDãy có quy luật và Ngày tháng và tuổi

Every paper in the book opens with five questions from this topic. The child should talk through each answer out loud. Explaining the remainder step is the best sign they really understand it.Các bài toán lô-gic mở đầu mọi đề trong sách. Hãy để con nói to cách giải từng bài. Giải thích được bước tìm số dư là dấu hiệu tốt nhất cho thấy con đã thật sự hiểu.

English words for this topicTừ tiếng Anh của chủ đề này
  • pattern: quy luật
  • sequence: dãy số
  • leap year: năm nhuận
  • average: trung bình cộng
  • section: phần
  • total: tổng cộng
  • leg: cái chân

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

1.1 PatternsDãy có quy luật

Dãy số và dãy hình có quy luậtPatterns

A repeating pattern: find the group size, then divide. The remainder tells you where you land. Remainder 0 means the last item in the group.
A growing pattern: write down the gaps between the numbers. The gaps usually have their own easy pattern.Dãy lặp lại: tìm số phần tử của một nhóm rồi chia. Số dư cho biết em dừng ở đâu. Dư 0 nghĩa là phần tử cuối của nhóm.
Dãy tăng dần: viết khoảng cách giữa các số liền nhau. Các khoảng cách thường có quy luật riêng rất dễ thấy.

Why it worksVì sao đúng

Full groups always end at a multiple of the group size. For A B C, groups end at positions 3, 6, 9, and so on. So position 99 is the end of a group (a C), and position 100 is one step into the next group, which is an A.Các nhóm đủ luôn kết thúc ở một bội của số phần tử trong nhóm. Với A B C, các nhóm kết thúc ở vị trí 3, 6, 9, v.v. Vậy vị trí 99 là cuối một nhóm (chữ C), và vị trí 100 là bước đầu của nhóm tiếp theo, tức chữ A.

That is what the remainder measures: how many steps past the last finished group you are. Remainder 0 means you stopped exactly at the end of a group, so you are on the last item.Số dư chính là số bước em đi quá nhóm đủ gần nhất. Dư 0 nghĩa là em dừng đúng ở cuối nhóm, nên đó là phần tử cuối.

For growing patterns, every number is the one before it plus a gap. If you can predict the next gap, you can build the next number.Với dãy tăng dần, mỗi số bằng số trước cộng một khoảng cách. Nếu đoán được khoảng cách tiếp theo, em sẽ tìm được số tiếp theo.

Worked exampleVí dụ
  1. What is the 100th letter of A B C A B C …? The group has 3 letters.Chữ cái thứ 100 của A B C A B C … là chữ gì? Mỗi nhóm có 3 chữ cái.
  2. 100 ÷ 3 = 33 remainder 1, so we land on the 1st letter: A.100 : 3 = 33 dư 1, nên ta dừng ở chữ cái đầu tiên của nhóm: A.
  3. What comes next in 2, 3, 5, 8, 12, …? The gaps are +1, +2, +3, +4.Số tiếp theo của 2, 3, 5, 8, 12, … là số nào? Các khoảng cách là +1, +2, +3, +4.
  4. The next gap is +5, so 12 + 5 = 17.Khoảng cách tiếp theo là +5, nên 12 + 5 = 17.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. What is the 50th letter of R E D R E D …?Chữ cái thứ 50 của R E D R E D … là chữ gì?
    Show answerXem đáp ánEE. 50 ÷ 3 = 16 remainder 2, so the 2nd letter.50 : 3 = 16 dư 2, nên là chữ cái thứ 2 của nhóm.
  2. The pattern ★ ★ ● ★ ★ ● … continues. How many ● are in the first 40 shapes?Dãy ★ ★ ● ★ ★ ● … cứ tiếp tục như vậy. Trong 40 hình đầu tiên có bao nhiêu hình ●?
    Show answerXem đáp án1313. 40 ÷ 3 = 13 remainder 1. Each full group has one ●, and the leftover shape is a ★.40 : 3 = 13 dư 1. Mỗi nhóm đủ có một hình ●, hình còn dư là ★.
  3. Find the 7th term of 2, 3, 6, 11, 18, …Tìm số hạng thứ 7 của dãy 2, 3, 6, 11, 18, …
    Show answerXem đáp án3838. The gaps are 1, 3, 5, 7, 9, 11, so 18 + 9 = 27 and 27 + 11 = 38.Các khoảng cách là 1, 3, 5, 7, 9, 11, nên 18 + 9 = 27 và 27 + 11 = 38.
  4. Find the 8th term of 1, 2, 4, 8, 16, …Tìm số hạng thứ 8 của dãy 1, 2, 4, 8, 16, …
    Show answerXem đáp án128128. Each term doubles: 32, 64, 128.Mỗi số gấp đôi số trước: 32, 64, 128.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. What is the 90th letter of T I M O T I M O …?Chữ cái thứ 90 của T I M O T I M O … là chữ gì?
    Show answerXem đáp ánII. 90 ÷ 4 = 22 remainder 2, so the letter in position 2 of the group.90 : 4 = 22 dư 2, nên là chữ cái ở vị trí 2 của nhóm.
  2. What is the 63rd letter of M U S I C M U S I C …?Chữ cái thứ 63 của M U S I C M U S I C … là chữ gì?
    Show answerXem đáp ánSS. 63 ÷ 5 = 12 remainder 3, so the letter in position 3 of the group.63 : 5 = 12 dư 3, nên là chữ cái ở vị trí 3 của nhóm.
  3. What is the 47th letter of A B B A B B …?Chữ cái thứ 47 của A B B A B B … là chữ gì?
    Show answerXem đáp ánBB. 47 ÷ 3 = 15 remainder 2, so the letter in position 2 of the group.47 : 3 = 15 dư 2, nên là chữ cái ở vị trí 2 của nhóm.
  4. The pattern ◆ ○ ○ ◆ ○ ○ … continues. How many ○ are in the first 50 shapes?Dãy ◆ ○ ○ ◆ ○ ○ … cứ tiếp tục như vậy. Trong 50 hình đầu tiên có bao nhiêu hình ○?
    Show answerXem đáp án3333. 50 ÷ 3 = 16 remainder 2. Count ○ in the full groups, then in the leftover shapes.50 : 3 = 16 dư 2. Đếm ○ trong các nhóm đủ, rồi trong các hình còn dư.
  5. The pattern ▲ ▲ ■ ● ▲ ▲ ■ ● … continues. How many ■ are in the first 30 shapes?Dãy ▲ ▲ ■ ● ▲ ▲ ■ ● … cứ tiếp tục như vậy. Trong 30 hình đầu tiên có bao nhiêu hình ■?
    Show answerXem đáp án77. 30 ÷ 4 = 7 remainder 2. Count ■ in the full groups, then in the leftover shapes.30 : 4 = 7 dư 2. Đếm ■ trong các nhóm đủ, rồi trong các hình còn dư.
  6. Find the 7th term of 1, 3, 6, 10, 15, …Tìm số hạng thứ 7 của dãy 1, 3, 6, 10, 15, …
    Show answerXem đáp án2828. The gaps are 2, 3, 4, 5, 6, 7.Các khoảng cách là 2, 3, 4, 5, 6, 7.
  7. Find the 8th term of 5, 6, 8, 11, 15, …Tìm số hạng thứ 8 của dãy 5, 6, 8, 11, 15, …
    Show answerXem đáp án3333. The gaps are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Các khoảng cách là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
  8. Find the 7th term of 3, 6, 12, 24, …Tìm số hạng thứ 7 của dãy 3, 6, 12, 24, …
    Show answerXem đáp án192192. Each number doubles.Mỗi số gấp đôi số trước.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A necklace repeats 3 red, 2 blue and 1 white bead. How many blue beads are in the first 100 beads?Một vòng cổ lặp lại 3 hạt đỏ, 2 hạt xanh và 1 hạt trắng. Trong 100 hạt đầu có bao nhiêu hạt xanh?
    Show answerXem đáp án3333. 100 ÷ 6 = 16 remainder 4. 16 × 2 = 32, and the leftover R R R B adds 1.100 : 6 = 16 dư 4. 16 × 2 = 32, và phần dư đỏ, đỏ, đỏ, xanh thêm 1.
  2. The digits 1 2 3 4 5 repeat: 1 2 3 4 5 1 2 3 … What is the sum of the first 23 digits?Các chữ số 1 2 3 4 5 lặp lại: 1 2 3 4 5 1 2 3 … Tổng của 23 chữ số đầu là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án6666. 23 ÷ 5 = 4 remainder 3. 4 × 15 + 1 + 2 + 3.23 : 5 = 4 dư 3. 4 × 15 + 1 + 2 + 3.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q1, Q4  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q1, Q4  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q1, Q4Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 1, câu 4  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 1, câu 4  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 1, câu 4

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q2  ·  Heat 7 (p. 57, answers p. 144): Q1, Q2Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 2  ·  Quốc gia đề 7 (tr. 57, đáp án tr. 144): câu 1, câu 2

1.2 Calendar and agesNgày tháng và tuổi

Tuổi và ngày thángCalendar and ages

Weekdays repeat every 7 days, so divide by 7 and use only the remainder. Count forward for "later" and backward for "ago". Months with 30 days: April, June, September, November. February has 28 days, or 29 in a leap year. All the others have 31.
For ages, the gap between two people never changes.Các thứ trong tuần lặp lại sau mỗi 7 ngày, nên hãy chia cho 7 và chỉ dùng số dư. Đếm tới với "sau" và đếm lùi với "trước". Các tháng có 30 ngày: tháng 4, 6, 9, 11. Tháng 2 có 28 ngày, năm nhuận có 29 ngày. Các tháng còn lại có 31 ngày.
Về tuổi, hiệu số tuổi của hai người không bao giờ thay đổi.

Why it worksVì sao đúng

After exactly 7 days it is the same weekday again, and the same after 14, 21 or any full number of weeks. 100 days is 98 days and 2 more. Those 98 days are 14 full weeks, which land back on Wednesday, so only the 2 extra days change anything.Sau đúng 7 ngày lại trở về cùng một thứ, sau 14, 21 ngày hay bất kỳ số tuần đủ nào cũng vậy. 100 ngày là 98 ngày và thêm 2 ngày. 98 ngày đó là đúng 14 tuần, trở lại thứ Tư, nên chỉ 2 ngày thêm mới làm thứ thay đổi.

Everyone gets one year older each year, so the gap between two people never changes.Mỗi năm ai cũng thêm một tuổi, nên hiệu số tuổi của hai người không bao giờ đổi.

If Dad is Mum + 4, then the total 70 is Mum + Mum + 4. Take away the extra 4 and you have two equal Mums, so divide by 2.Nếu tuổi bố = tuổi mẹ + 4, thì tổng 70 bằng tuổi mẹ + tuổi mẹ + 4. Bớt 4 đi là còn hai phần bằng nhau, nên chia cho 2.

Worked exampleVí dụ
  1. Today is Wednesday. What day is it 100 days later?Hôm nay là thứ Tư. 100 ngày sau là thứ mấy?
  2. 100 ÷ 7 = 14 remainder 2. Two days after Wednesday is Friday.100 : 7 = 14 dư 2. Hai ngày sau thứ Tư là thứ Sáu.
  3. Mum and Dad's ages add up to 70, and Dad is 4 years older. How old is Mum?Tổng số tuổi của bố và mẹ là 70, bố hơn mẹ 4 tuổi. Mẹ bao nhiêu tuổi?
  4. Take away the gap: 70 − 4 = 66. Then split it: 66 ÷ 2 = 33.Bớt phần hơn đi: 70 − 4 = 66. Rồi chia đôi: 66 : 2 = 33.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Today is Monday. What day is it 50 days later?Hôm nay là thứ Hai. 50 ngày sau là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánTuesdayThứ Ba. 50 ÷ 7 = 7 remainder 1.50 : 7 = 7 dư 1.
  2. Today is Saturday. What day was it 30 days ago?Hôm nay là thứ Bảy. 30 ngày trước là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánThursdayThứ Năm. 30 ÷ 7 = 4 remainder 2. Count back 2 days.30 : 7 = 4 dư 2. Đếm lùi 2 ngày.
  3. 5th May is a Tuesday. What day is 5th June?Ngày 5 tháng 5 là thứ Ba. Ngày 5 tháng 6 là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánFridayThứ Sáu. May has 31 days. 31 ÷ 7 = 4 remainder 3.Tháng 5 có 31 ngày. 31 : 7 = 4 dư 3.
  4. Anna and Ben's ages add up to 20. Ben is 4 years older. How old is Ben?Tổng số tuổi của Anna và Ben là 20. Ben hơn Anna 4 tuổi. Ben bao nhiêu tuổi?
    Show answerXem đáp án1212. (20 − 4) ÷ 2 = 8 is Anna, so Ben is 8 + 4 = 12.(20 − 4) : 2 = 8 là tuổi của Anna, nên Ben 8 + 4 = 12 tuổi.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. Today is Sunday. What day is it 45 days later?Hôm nay là Chủ nhật. 45 ngày sau là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánWednesdayThứ Tư. 45 ÷ 7 = 6 remainder 3.45 : 7 = 6 dư 3.
  2. Today is Wednesday. What day is it 60 days later?Hôm nay là thứ Tư. 60 ngày sau là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánSundayChủ nhật. 60 ÷ 7 = 8 remainder 4.60 : 7 = 8 dư 4.
  3. Today is Friday. What day was it 100 days ago?Hôm nay là thứ Sáu. 100 ngày trước là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánWednesdayThứ Tư. 100 ÷ 7 = 14 remainder 2. Count back 2 days.100 : 7 = 14 dư 2. Đếm lùi 2 ngày.
  4. Today is Monday. What day was it 52 days ago?Hôm nay là thứ Hai. 52 ngày trước là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánFridayThứ Sáu. 52 ÷ 7 = 7 remainder 3. Count back 3 days.52 : 7 = 7 dư 3. Đếm lùi 3 ngày.
  5. 10th April is a Thursday. What day is 10th May?Ngày 10 tháng 4 là thứ Năm. Ngày 10 tháng 5 là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánSaturdayThứ Bảy. That is 30 days. 30 ÷ 7 leaves 2.Khoảng đó là 30 ngày. 30 : 7 dư 2.
  6. 2nd June is a Sunday. What day is 2nd August?Ngày 2 tháng 6 là Chủ nhật. Ngày 2 tháng 8 là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánFridayThứ Sáu. That is 61 days. 61 ÷ 7 leaves 5.Khoảng đó là 61 ngày. 61 : 7 dư 5.
  7. Two ages add up to 36. The difference is 6 years. How old is the younger person?Tổng số tuổi của hai người là 36. Họ hơn kém nhau 6 tuổi. Người nhỏ hơn bao nhiêu tuổi?
    Show answerXem đáp án1515. (36 − 6) ÷ 2.(36 − 6) : 2.
  8. Two ages add up to 90. The difference is 4 years. How old is the older person?Tổng số tuổi của hai người là 90. Họ hơn kém nhau 4 tuổi. Người lớn hơn bao nhiêu tuổi?
    Show answerXem đáp án4747. (90 − 4) ÷ 2 = 43, and 43 + 4 = 47.(90 − 4) : 2 = 43, và 43 + 4 = 47.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. In a year that is not a leap year, 1st January is a Thursday. What day is 1st March?Trong năm không nhuận, ngày 1 tháng 1 là thứ Năm. Ngày 1 tháng 3 là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánSundayChủ nhật. 31 + 28 = 59 days. 59 ÷ 7 leaves 3.31 + 28 = 59 ngày. 59 : 7 dư 3.
  2. A father is 30 years older than his son. In 5 years their ages will add up to 50. How old is the son now?Bố hơn con 30 tuổi. Sau 5 năm tổng số tuổi của hai bố con là 50. Hiện nay con bao nhiêu tuổi?
    Show answerXem đáp án55. Their total now is 50 − 10 = 40. (40 − 30) ÷ 2.Tổng hiện nay là 50 − 10 = 40. (40 − 30) : 2.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q2  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q2  ·  Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q2, Q4Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 2  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 2  ·  Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 2, câu 4

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q2  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q2, Q4Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 2  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 2, câu 4

AnswersĐáp án

1.11.1: 1. E; 2. 13; 3. 38; 4. 128; 5. I; 6. S; 7. B; 8. 33; 9. 7; 10. 28; 11. 33; 12. 192; 13. 33; 14. 661. E; 2. 13; 3. 38; 4. 128; 5. I; 6. S; 7. B; 8. 33; 9. 7; 10. 28; 11. 33; 12. 192; 13. 33; 14. 66

1.21.2: 1. Tuesday; 2. Thursday; 3. Friday; 4. 12; 5. Wednesday; 6. Sunday; 7. Wednesday; 8. Friday; 9. Saturday; 10. Friday; 11. 15; 12. 47; 13. Sunday; 14. 51. Thứ Ba; 2. Thứ Năm; 3. Thứ Sáu; 4. 12; 5. Thứ Tư; 6. Chủ nhật; 7. Thứ Tư; 8. Thứ Sáu; 9. Thứ Bảy; 10. Thứ Sáu; 11. 15; 12. 47; 13. Chủ nhật; 14. 5

‹ Whole planToàn bộ kế hoạchDayNgày 2 ›
DayNgày 2
Logical thinking, day 2 of 3Tư duy lô-gic, ngày 2/3

Working backward and Pretend they are all the sameLàm ngược lại và Giả thiết tạm

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

Warm-upKhởi động
  1. What is the 60th letter of S U N S U N …?Chữ cái thứ 60 của S U N S U N … là chữ gì?
    Show answerXem đáp ánNN. 60 ÷ 3 leaves 0, so the last letter in the group.60 : 3 dư 0, nên là chữ cái cuối của nhóm.
  2. Today is Friday. What day is it 22 days later?Hôm nay là thứ Sáu. 22 ngày sau là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánSaturdayThứ Bảy. 22 ÷ 7 leaves 1.22 : 7 dư 1.

1.3 Working backwardLàm ngược lại

Bài toán làm ngược lạiWorking backward

Start from the end and undo each step in reverse order. Plus becomes minus, times becomes divide. If someone took half and the other half is left, double what is left.Bắt đầu từ kết quả cuối và làm ngược từng bước theo thứ tự đảo lại. Cộng thành trừ, nhân thành chia. Nếu ai đó lấy đi một nửa và còn lại nửa kia, hãy gấp đôi phần còn lại.

Why it worksVì sao đúng

Think of socks and shoes. You put socks on first and shoes second, but to undo it you take the shoes off first. The last thing done has to be undone first.Hãy nghĩ đến tất và giày. Em đi tất trước, đi giày sau, nhưng khi tháo thì phải tháo giày trước. Việc làm sau cùng phải được làm ngược đầu tiên.

Each opposite step cancels: adding 5 and then subtracting 5 gets you back to where you were, and multiplying by 3 and then dividing by 3 does too.Mỗi bước ngược triệt tiêu bước xuôi: cộng 5 rồi trừ 5 sẽ trở về chỗ cũ, nhân 3 rồi chia 3 cũng vậy.

If half was taken away, what is left is the other half. Two halves make the whole, so you double.Nếu một nửa đã bị lấy đi, phần còn lại là nửa kia. Hai nửa là cả phần, nên ta gấp đôi.

Worked exampleVí dụ
  1. Think of a number, add 5, multiply by 3, subtract 6. The result is 30.Nghĩ một số, cộng 5, nhân 3, trừ 6. Kết quả là 30.
  2. Undo the subtract: 30 + 6 = 36.Làm ngược phép trừ: 30 + 6 = 36.
  3. Undo the multiply: 36 ÷ 3 = 12.Làm ngược phép nhân: 36 : 3 = 12.
  4. Undo the add: 12 − 5 = 7. Check it: (7 + 5) × 3 − 6 = 30.Làm ngược phép cộng: 12 − 5 = 7. Thử lại: (7 + 5) × 3 − 6 = 30.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. A number is multiplied by 2, then 7 is added. The result is 27. What is the number?Một số được nhân với 2, rồi cộng thêm 7. Kết quả là 27. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án1010. 27 − 7 = 20, then 20 ÷ 2 = 10.27 − 7 = 20, rồi 20 : 2 = 10.
  2. Subtract 4 from a number, divide by 3, add 5. The result is 11. What is the number?Lấy một số trừ 4, chia cho 3, rồi cộng 5. Kết quả là 11. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án2222. 11 − 5 = 6, 6 × 3 = 18, 18 + 4 = 22.11 − 5 = 6, 6 × 3 = 18, 18 + 4 = 22.
  3. Sam ate half of his sweets, then gave away 3. He has 5 left. How many did he start with?Sam ăn một nửa số kẹo, rồi cho đi 3 cái. Sam còn 5 cái. Lúc đầu Sam có bao nhiêu cái kẹo?
    Show answerXem đáp án1616. 5 + 3 = 8, and 8 × 2 = 16.5 + 3 = 8, và 8 × 2 = 16.
  4. A shop sold 10 toys on day 1, half of the rest on day 2, and 8 on day 3. Now 12 are left. How many toys were there at the start?Một cửa hàng bán 10 món đồ chơi trong ngày 1, một nửa số còn lại trong ngày 2 và 8 món trong ngày 3. Bây giờ còn 12 món. Lúc đầu có bao nhiêu món đồ chơi?
    Show answerXem đáp án5050. 12 + 8 = 20, 20 × 2 = 40, 40 + 10 = 50.12 + 8 = 20, 20 × 2 = 40, 40 + 10 = 50.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. Start with a number, then add 8, multiply by 3. The result is 36. What is the number?Bắt đầu với một số, rồi lần lượt cộng 8, nhân 3. Kết quả là 36. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án44. 36 ÷ 3 = 12, 12 − 8 = 4.36 : 3 = 12, 12 − 8 = 4.
  2. Start with a number, then subtract 5, multiply by 4. The result is 32. What is the number?Bắt đầu với một số, rồi lần lượt trừ 5, nhân 4. Kết quả là 32. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án1313. 32 ÷ 4 = 8, 8 + 5 = 13.32 : 4 = 8, 8 + 5 = 13.
  3. Start with a number, then divide by 5, add 9. The result is 15. What is the number?Bắt đầu với một số, rồi lần lượt chia cho 5, cộng 9. Kết quả là 15. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án3030. 15 − 9 = 6, 6 × 5 = 30.15 − 9 = 6, 6 × 5 = 30.
  4. Start with a number, then multiply by 7, subtract 12, divide by 3. The result is 10. What is the number?Bắt đầu với một số, rồi lần lượt nhân 7, trừ 12, chia cho 3. Kết quả là 10. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án66. 10 × 3 = 30, 30 + 12 = 42, 42 ÷ 7 = 6.10 × 3 = 30, 30 + 12 = 42, 42 : 7 = 6.
  5. Start with a number, then add 5, divide by 6, multiply by 8, subtract 4. The result is 36. What is the number?Bắt đầu với một số, rồi lần lượt cộng 5, chia cho 6, nhân 8, trừ 4. Kết quả là 36. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án2525. 36 + 4 = 40, 40 ÷ 8 = 5, 5 × 6 = 30, 30 − 5 = 25.36 + 4 = 40, 40 : 8 = 5, 5 × 6 = 30, 30 − 5 = 25.
  6. Lan spent half of her money, then spent $4 more. She has $6 left. How much did she start with?Lan tiêu một nửa số tiền, rồi tiêu thêm $4. Lan còn $6. Lúc đầu Lan có bao nhiêu tiền?
    Show answerXem đáp án2020. 6 + 4 = 10, and 10 × 2 = 20.6 + 4 = 10, và 10 × 2 = 20.
  7. A baker sold 12 cakes, then half of the rest, then 5 more. Now 9 are left. How many were there at the start?Một thợ bánh bán 12 cái bánh, rồi một nửa số còn lại, rồi thêm 5 cái. Bây giờ còn 9 cái. Lúc đầu có bao nhiêu cái?
    Show answerXem đáp án4040. 9 + 5 = 14, 14 × 2 = 28, 28 + 12 = 40.9 + 5 = 14, 14 × 2 = 28, 28 + 12 = 40.
  8. Tom read half of a book on day 1 and 20 pages on day 2. There are 15 pages left. How many pages does the book have?Tom đọc một nửa quyển sách trong ngày 1 và 20 trang trong ngày 2. Còn lại 15 trang. Quyển sách có bao nhiêu trang?
    Show answerXem đáp án7070. 15 + 20 = 35, and 35 × 2 = 70.15 + 20 = 35, và 35 × 2 = 70.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A bottle was poured out by half, then half of the rest, then 10 ml more. 30 ml is left. How many ml were there at the start?Một chai được đổ ra một nửa, rồi một nửa số còn lại, rồi thêm 10 ml. Còn lại 30 ml. Lúc đầu có bao nhiêu ml?
    Show answerXem đáp án160160. 30 + 10 = 40, 40 × 2 = 80, 80 × 2 = 160.30 + 10 = 40, 40 × 2 = 80, 80 × 2 = 160.
  2. Each day a monkey eats half of its bananas and then 1 more. After 3 days it has 1 banana left. How many did it start with?Mỗi ngày một con khỉ ăn một nửa số chuối rồi ăn thêm 1 quả. Sau 3 ngày còn 1 quả. Lúc đầu có bao nhiêu quả?
    Show answerXem đáp án2222. (1 + 1) × 2 = 4, (4 + 1) × 2 = 10, (10 + 1) × 2 = 22.(1 + 1) × 2 = 4, (4 + 1) × 2 = 10, (10 + 1) × 2 = 22.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q3  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q5  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q5Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 3  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 5  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 5

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q3  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q4Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 3  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 4

1.4 Pretend they are all the sameGiả thiết tạm

Bài toán giả thiết tạmPretend they are all the same

This is the chickens and rabbits problem. Pretend every animal has 2 legs and count the legs. Each swap from a 2-leg animal to a 4-leg animal adds 2 legs. The missing legs tell you how many swaps you need.Đây là bài toán gà và thỏ. Hãy giả sử mọi con vật đều có 2 chân rồi đếm số chân. Mỗi lần đổi một con 2 chân thành một con 4 chân thì thêm được 2 chân. Số chân còn thiếu cho biết cần đổi bao nhiêu lần.

Why it worksVì sao đúng

Swapping one chicken for one rabbit keeps the number of animals the same but adds exactly 2 legs, because 4 − 2 = 2. So every swap fixes exactly 2 of the missing legs. That is why you divide by 2.Đổi một con gà thành một con thỏ thì số con vật không đổi nhưng thêm đúng 2 chân, vì 4 − 2 = 2. Vậy mỗi lần đổi bù đúng 2 chân còn thiếu. Đó là lý do chia cho 2.

The same idea works for anything with two values. Swapping a $2 note for a $5 note adds $3, so there you divide by 3. Always divide by the difference between the two values.Ý tưởng này đúng với mọi bài có hai giá trị. Đổi tờ $2 thành tờ $5 thì thêm $3, nên ở đó chia cho 3. Luôn chia cho hiệu của hai giá trị.

Worked exampleVí dụ
  1. 10 chickens and rabbits have 28 legs in total.10 con gà và thỏ có tổng cộng 28 chân.
  2. If all were chickens: 10 × 2 = 20 legs. We are short by 8.Nếu tất cả là gà: 10 × 2 = 20 chân. Còn thiếu 8 chân.
  3. Each rabbit adds 2 legs: 8 ÷ 2 = 4 rabbits.Mỗi con thỏ thêm 2 chân: 8 : 2 = 4 con thỏ.
  4. So 4 rabbits and 6 chickens. Check: 16 + 12 = 28.Vậy có 4 con thỏ và 6 con gà. Thử lại: 16 + 12 = 28.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 8 chickens and rabbits have 22 legs. How many rabbits?8 con gà và thỏ có 22 chân. Có bao nhiêu con thỏ?
    Show answerXem đáp án33. All chickens gives 16 legs. (22 − 16) ÷ 2 = 3.Nếu tất cả là gà thì có 16 chân. (22 − 16) : 2 = 3.
  2. 12 ducks and cows have 38 legs. How many cows?12 con vịt và bò có 38 chân. Có bao nhiêu con bò?
    Show answerXem đáp án77. All ducks gives 24 legs. (38 − 24) ÷ 2 = 7.Nếu tất cả là vịt thì có 24 chân. (38 − 24) : 2 = 7.
  3. 15 notes of $2 and $5 are worth $48. How many $5 notes?15 tờ tiền loại $2 và $5 có tổng giá trị $48. Có bao nhiêu tờ $5?
    Show answerXem đáp án66. All $2 gives $30. Each swap adds $3. 18 ÷ 3 = 6.Nếu tất cả là tờ $2 thì được $30. Mỗi lần đổi thêm $3. 18 : 3 = 6.
  4. 20 chickens and rabbits have 56 legs. How many chickens?20 con gà và thỏ có 56 chân. Có bao nhiêu con gà?
    Show answerXem đáp án1212. Rabbits: (56 − 40) ÷ 2 = 8. Chickens: 20 − 8 = 12.Số thỏ: (56 − 40) : 2 = 8. Số gà: 20 − 8 = 12.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. 9 hens and dogs have 26 legs. How many dogs?9 con gà mái và chó có 26 chân. Có bao nhiêu con chó?
    Show answerXem đáp án44. All hens gives 18. (26 − 18) ÷ 2 = 4.Nếu tất cả là gà mái thì được 18. (26 − 18) : 2 = 4.
  2. 14 ducks and cats have 40 legs. How many cats?14 con vịt và mèo có 40 chân. Có bao nhiêu con mèo?
    Show answerXem đáp án66. All ducks gives 28. (40 − 28) ÷ 2 = 6.Nếu tất cả là vịt thì được 28. (40 − 28) : 2 = 6.
  3. 16 chickens and rabbits have 50 legs. How many chickens?16 con gà và thỏ có 50 chân. Có bao nhiêu con gà?
    Show answerXem đáp án77. All chickens gives 32. (50 − 32) ÷ 2 = 9. Then 16 − 9.Nếu tất cả là gà thì được 32. (50 − 32) : 2 = 9. Rồi 16 − 9.
  4. 30 birds and lions have 84 legs. How many birds?30 con chim và sư tử có 84 chân. Có bao nhiêu con chim?
    Show answerXem đáp án1818. All birds gives 60. (84 − 60) ÷ 2 = 12. Then 30 − 12.Nếu tất cả là chim thì được 60. (84 − 60) : 2 = 12. Rồi 30 − 12.
  5. 12 bicycles and tricycles have 30 wheels. How many tricycles?12 chiếc xe đạp hai bánh và xe ba bánh có 30 bánh xe. Có bao nhiêu xe ba bánh?
    Show answerXem đáp án66. All bicycles gives 24. (30 − 24) ÷ 1 = 6.Nếu tất cả là xe hai bánh thì được 24. (30 − 24) : 1 = 6.
  6. 18 motorbikes and cars have 52 wheels. How many cars?18 chiếc xe máy và ô tô có 52 bánh xe. Có bao nhiêu ô tô?
    Show answerXem đáp án88. All motorbikes gives 36. (52 − 36) ÷ 2 = 8.Nếu tất cả là xe máy thì được 36. (52 − 36) : 2 = 8.
  7. 11 notes of $1 and $5 are worth $31. How many $5 notes?11 tờ tiền loại $1 và $5 có tổng giá trị $31. Có bao nhiêu tờ $5?
    Show answerXem đáp án55. All $1 notes gives 11. (31 − 11) ÷ 4 = 5.Nếu tất cả là tờ $1 thì được 11. (31 − 11) : 4 = 5.
  8. 20 tickets cost $3 or $5 each. Together they cost $76. How many $5 tickets?20 vé có giá $3 hoặc $5 một vé. Tổng cộng là $76. Có bao nhiêu vé $5?
    Show answerXem đáp án88. All $3 tickets gives 60. (76 − 60) ÷ 2 = 8.Nếu tất cả là vé $3 thì được 60. (76 − 60) : 2 = 8.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A quiz has 20 questions. A right answer gives 5 marks and a wrong answer loses 2. Nam answered all and scored 58. How many were right?Một bài có 20 câu. Câu đúng được 5 điểm, câu sai bị trừ 2 điểm. Nam làm hết và được 58 điểm. Nam đúng bao nhiêu câu?
    Show answerXem đáp án1414. All right gives 100. Each wrong loses 7. (100 − 58) ÷ 7 = 6 wrong.Đúng hết được 100. Mỗi câu sai mất 7. (100 − 58) : 7 = 6 câu sai.
  2. 10 spiders and beetles have 68 legs. Spiders have 8 legs and beetles have 6. How many spiders?10 con nhện và bọ cánh cứng có 68 chân. Nhện có 8 chân, bọ có 6 chân. Có bao nhiêu con nhện?
    Show answerXem đáp án44. All beetles gives 60. (68 − 60) ÷ 2.Nếu tất cả là bọ thì có 60 chân. (68 − 60) : 2.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q5  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q3  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q3Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 5  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 3  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 3

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q5  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q5Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 5  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 5

AnswersĐáp án

Warm-upKhởi động: 1. N; 2. Saturday1. N; 2. Thứ Bảy

1.31.3: 1. 10; 2. 22; 3. 16; 4. 50; 5. 4; 6. 13; 7. 30; 8. 6; 9. 25; 10. 20; 11. 40; 12. 70; 13. 160; 14. 221. 10; 2. 22; 3. 16; 4. 50; 5. 4; 6. 13; 7. 30; 8. 6; 9. 25; 10. 20; 11. 40; 12. 70; 13. 160; 14. 22

1.41.4: 1. 3; 2. 7; 3. 6; 4. 12; 5. 4; 6. 6; 7. 7; 8. 18; 9. 6; 10. 8; 11. 5; 12. 8; 13. 14; 14. 41. 3; 2. 7; 3. 6; 4. 12; 5. 4; 6. 6; 7. 7; 8. 18; 9. 6; 10. 8; 11. 5; 12. 8; 13. 14; 14. 4

‹ DayNgày 1DayNgày 3 ›
DayNgày 3
Logical thinking, day 3 of 3Tư duy lô-gic, ngày 3/3

Picture and table patterns and Averages and mixed practiceBảng và hình có quy luật và Trung bình cộng và luyện tập tổng hợp

About 60 minutes.Khoảng 60 phút. The mixed questions make the child work out which method fits. Any extra trick is mainly for the Heat Round.Các câu trộn lẫn khiến con phải tự nhận ra cần dùng cách nào. Mẹo thêm chủ yếu dành cho Vòng quốc gia.

1.6 Picture and table patternsBảng và hình có quy luật

Bảng và hình có quy luậtPicture and table patterns

Look at how the numbers in one row connect. Try ×, then +, and combinations. Test the rule on every row before you trust it.
For groups of pictures, count each group and write a number list. Then it is an ordinary pattern.Xem các số trong một hàng liên hệ với nhau thế nào. Thử phép ×, phép +, rồi kết hợp. Thử quy luật trên mọi hàng trước khi tin nó.
Với các nhóm hình, hãy đếm từng nhóm và viết thành dãy số. Khi đó đây là dãy có quy luật bình thường.

2317
42311
53217
645?
Why it worksVì sao đúng

One row can fit many rules. 2, 3, 1 → 7 fits 2 × 3 + 1, but also 2 + 3 + 2. A real rule has to work for every row, so each extra row removes the wrong guesses.Một hàng có thể hợp với nhiều quy luật. 2, 3, 1 → 7 hợp với 2 × 3 + 1, nhưng cũng hợp với 2 + 3 + 2. Quy luật thật phải đúng với mọi hàng, nên mỗi hàng thêm sẽ loại bớt các dự đoán sai.

Pictures are only numbers in disguise. Once you write 3, 5, 7, 9 the gap +2 is easy to see, and you no longer need to draw the 10th group.Hình vẽ chỉ là các số trá hình. Khi đã viết 3, 5, 7, 9 thì dễ thấy khoảng cách +2, và em không cần vẽ nhóm thứ 10 nữa.

Worked exampleVí dụ
  1. In the table above: 2 × 3 + 1 = 7, 4 × 2 + 3 = 11, 5 × 3 + 2 = 17. The rule works for every row.Trong bảng ở trên: 2 × 3 + 1 = 7, 4 × 2 + 3 = 11, 5 × 3 + 2 = 17. Quy luật đúng với mọi hàng.
  2. So the missing number is 6 × 4 + 5 = 29.Vậy số còn thiếu là 6 × 4 + 5 = 29.
  3. Groups of 3, 5, 7 dots: the gap is +2, so the 10th group has 3 + 9 × 2 = 21 dots.Các nhóm 3, 5, 7 chấm: khoảng cách là +2, nên nhóm thứ 10 có 3 + 9 × 2 = 21 chấm.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Find the missing number in the table.Tìm số còn thiếu trong bảng.
    1426
    32511
    26113
    453?
    Show answerXem đáp án2323. Rule: a × b + c.Quy luật: a × b + c.
  2. Find the missing number in the table.Tìm số còn thiếu trong bảng.
    2315
    42310
    15211
    345?
    Show answerXem đáp án2323. Rule: a + b × c.Quy luật: a + b × c.
  3. Groups of shapes hold 4, 7, 10, 13, … shapes. How many are in group 8?Các nhóm hình có 4, 7, 10, 13, … hình. Nhóm thứ 8 có bao nhiêu hình?
    Show answerXem đáp án2525. The gap is 3. 4 + 7 × 3.Khoảng cách là 3. 4 + 7 × 3.
  4. Groups of shapes hold 1, 3, 6, 10, … shapes. How many are in group 6?Các nhóm hình có 1, 3, 6, 10, … hình. Nhóm thứ 6 có bao nhiêu hình?
    Show answerXem đáp án2121. The gaps are 2, 3, 4, 5, 6.Các khoảng cách là 2, 3, 4, 5, 6.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. Find the missing number in the table.Tìm số còn thiếu trong bảng.
    1239
    2228
    41315
    334?
    Show answerXem đáp án2424. Rule: (a + b) × c.Quy luật: (a + b) × c.
  2. Find the missing number in the table.Tìm số còn thiếu trong bảng.
    34210
    5219
    2657
    456?
    Show answerXem đáp án1414. Rule: a × b − c.Quy luật: a × b − c.
  3. Groups of shapes hold 1, 4, 9, 16, … shapes. How many are in group 7?Các nhóm hình có 1, 4, 9, 16, … hình. Nhóm thứ 7 có bao nhiêu hình?
    Show answerXem đáp án4949. These are 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 and so on. 7 × 7.Đây là 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, v.v. 7 × 7.
  4. Groups of shapes hold 2, 7, 12, … shapes. How many are in group 9?Các nhóm hình có 2, 7, 12, … hình. Nhóm thứ 9 có bao nhiêu hình?
    Show answerXem đáp án4242. The gap is 5. 2 + 8 × 5.Khoảng cách là 5. 2 + 8 × 5.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. Matches make a row of squares: 1 square uses 4 matches, 2 squares use 7, 3 squares use 10. How many matches do 20 squares use?Que diêm xếp thành một hàng hình vuông: 1 hình dùng 4 que, 2 hình dùng 7 que, 3 hình dùng 10 que. 20 hình dùng bao nhiêu que?
    Show answerXem đáp án6161. Each new square adds 3 matches. 4 + 19 × 3.Mỗi hình mới thêm 3 que. 4 + 19 × 3.
  2. A staircase of cubes has 1 cube in step 1, 2 in step 2, and so on. How many cubes make a staircase with 8 steps?Một cầu thang bằng hình lập phương có 1 hình ở bậc 1, 2 hình ở bậc 2, v.v. Cầu thang 8 bậc có bao nhiêu hình?
    Show answerXem đáp án3636. 1 + 2 + … + 8.1 + 2 + … + 8.

From the book:Trong sách: Prelim 7 (p. 32, answers p. 137): Q3, Q4, Q5Vòng loại đề 7 (tr. 32, đáp án tr. 137): câu 3, câu 4, câu 5

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q4Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 4

1.7 AveragesTrung bình cộng

Trung bình cộngAverages

Average = total ÷ how many. To find a missing mark: total needed − the marks you know.Trung bình cộng = tổng : số số hạng. Để tìm điểm còn thiếu: tổng cần có − các điểm đã biết.

Why it worksVì sao đúng

An average is what everyone would have if the total were shared equally. So 3 tests averaging 8 hold exactly the same total as 8 + 8 + 8. That is why average × how many gives the total.Trung bình cộng là số mỗi người có nếu chia đều tổng. Vậy 3 bài có trung bình 8 có tổng đúng bằng 8 + 8 + 8. Đó là lý do trung bình × số số hạng cho ra tổng.

Worked exampleVí dụ
  1. Three tests average 8. The total is 8 × 3 = 24.Ba bài có trung bình 8. Tổng là 8 × 3 = 24.
  2. Two of the marks are 7 and 9, so the third is 24 − 7 − 9 = 8.Hai điểm đã biết là 7 và 9, nên điểm thứ ba là 24 − 7 − 9 = 8.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Find the average of 4, 6 and 8.Tìm trung bình cộng của 4, 6 và 8.
    Show answerXem đáp án66. 18 ÷ 3.18 : 3.
  2. Find the average of 10, 20, 30 and 40.Tìm trung bình cộng của 10, 20, 30 và 40.
    Show answerXem đáp án2525. 100 ÷ 4.100 : 4.
  3. Two marks are 7 and 9. What is their average?Hai điểm số là 7 và 9. Trung bình cộng là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án88. 16 ÷ 2.16 : 2.
  4. Three marks average 70. Two of them are 60 and 75. What is the third?Ba điểm số có trung bình 70. Hai điểm là 60 và 75. Điểm thứ ba là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án7575. 210 − 60 − 75.210 − 60 − 75.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. Four marks average 80. Three of them are 75, 85 and 90. What is the fourth?Bốn điểm số có trung bình 80. Ba điểm là 75, 85 và 90. Điểm thứ tư là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án7070. 320 − 75 − 85 − 90.320 − 75 − 85 − 90.
  2. Five numbers average 12. What is their total?Năm số có trung bình 12. Tổng của chúng là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án6060. 5 × 12.5 × 12.
  3. Find the average of 5, 10, 15, 20 and 25.Tìm trung bình cộng của 5, 10, 15, 20 và 25.
    Show answerXem đáp án1515. 75 ÷ 5.75 : 5.
  4. Four tests average 85. A fifth test scores 90. What is the new average?Bốn bài kiểm tra có trung bình 85. Bài thứ năm được 90. Trung bình mới là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án8686. (340 + 90) ÷ 5.(340 + 90) : 5.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. Six numbers average 20. One number, 10, is removed. What is the average of the other five?Sáu số có trung bình 20. Bỏ đi số 10. Trung bình của năm số còn lại là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án2222. (120 − 10) ÷ 5.(120 − 10) : 5.
  2. An is 130 cm tall and Binh is 140 cm. How tall must Chi be so that the three average 138 cm?An cao 130 cm và Bình cao 140 cm. Chi phải cao bao nhiêu để ba bạn có chiều cao trung bình 138 cm?
    Show answerXem đáp án144144. 414 − 130 − 140.414 − 130 − 140.

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q1  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q1Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 1  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 1

Mixed exercisesBài tập tổng hợp
  1. What is the 77th letter of M A T H M A T H …?Chữ cái thứ 77 của M A T H M A T H … là chữ gì?
    Show answerXem đáp ánMM. 77 ÷ 4 leaves 1.77 : 4 dư 1.
  2. The pattern ● ▲ ▲ ● ▲ ▲ … continues. How many ▲ are in the first 32 shapes?Dãy ● ▲ ▲ ● ▲ ▲ … cứ tiếp tục như vậy. Trong 32 hình đầu tiên có bao nhiêu hình ▲?
    Show answerXem đáp án2121. 32 ÷ 3 = 10 remainder 2. That is 20 ▲, and the leftover ● ▲ adds 1.32 : 3 = 10 dư 2. Đó là 20 hình ▲, và phần dư ● ▲ thêm 1.
  3. Find the 7th term of 4, 5, 7, 10, 14, …Tìm số hạng thứ 7 của dãy 4, 5, 7, 10, 14, …
    Show answerXem đáp án2525. The gaps are 1, 2, 3, 4, 5, 6: then 19, 25.Các khoảng cách là 1, 2, 3, 4, 5, 6: tiếp theo là 19, 25.
  4. Today is Thursday. What day is it 200 days later?Hôm nay là thứ Năm. 200 ngày sau là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánMondayThứ Hai. 200 ÷ 7 leaves 4.200 : 7 dư 4.
  5. Today is Tuesday. What day was it 75 days ago?Hôm nay là thứ Ba. 75 ngày trước là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánThursdayThứ Năm. 75 ÷ 7 leaves 5. Count back 5 days.75 : 7 dư 5. Đếm lùi 5 ngày.
  6. 3rd March is a Monday. What day is 3rd April?Ngày 3 tháng 3 là thứ Hai. Ngày 3 tháng 4 là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánThursdayThứ Năm. March has 31 days, which leaves 3.Tháng 3 có 31 ngày, dư 3.
  7. Two ages add up to 50. The difference is 6 years. How old is the older person?Tổng số tuổi của hai người là 50. Họ hơn kém nhau 6 tuổi. Người lớn hơn bao nhiêu tuổi?
    Show answerXem đáp án2828. (50 − 6) ÷ 2 = 22, and 22 + 6 = 28.(50 − 6) : 2 = 22, và 22 + 6 = 28.
  8. Add 6 to a number, multiply by 4, subtract 10. The result is 50. What is the number?Lấy một số cộng 6, nhân 4, trừ 10. Kết quả là 50. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án99. 50 + 10 = 60, 60 ÷ 4 = 15, 15 − 6 = 9.50 + 10 = 60, 60 : 4 = 15, 15 − 6 = 9.
  9. Minh gave half of her stickers to her sister, then bought 6 more. She now has 20. How many did she start with?Minh cho em gái một nửa số nhãn dán, rồi mua thêm 6 cái. Bây giờ Minh có 20 cái. Lúc đầu Minh có bao nhiêu cái?
    Show answerXem đáp án2828. 20 − 6 = 14, and 14 × 2 = 28.20 − 6 = 14, và 14 × 2 = 28.
  10. 25 chickens and rabbits have 70 legs. How many rabbits?25 con gà và thỏ có 70 chân. Có bao nhiêu con thỏ?
    Show answerXem đáp án1010. All chickens gives 50 legs. (70 − 50) ÷ 2.Nếu tất cả là gà thì có 50 chân. (70 − 50) : 2.
Extra trickMẹo thêm

1.5 Heat Round favourites: cuts and swapsHay gặp ở Vòng quốc gia: cắt gỗ và quy đổi

Vòng quốc giaHeat Round favourites: cuts and swaps

These are not listed in the syllabus, but cutting wood appears in 6 of the 7 Heat papers. To get pieces you need one cut fewer than the pieces. For weights, swap everything into the smallest fruit.Các dạng này không có trong khung chương trình, nhưng bài cắt gỗ xuất hiện trong 6 trên 7 đề Vòng quốc gia. Để có một số phần, em cần số nhát cắt ít hơn số phần một đơn vị. Với bài cân nặng, hãy quy đổi tất cả về loại quả nhỏ nhất.

Why it worksVì sao đúng

One log starts as 1 piece, and every cut makes exactly one more piece. After 1 cut you have 2 pieces, after 2 cuts you have 3. So cuts are always one fewer than pieces, and it is the cuts that take time, not the pieces.Khúc gỗ lúc đầu là 1 phần, và mỗi nhát cắt tạo thêm đúng một phần. Sau 1 nhát có 2 phần, sau 2 nhát có 3 phần. Vậy số nhát cắt luôn ít hơn số phần một đơn vị, và thời gian tính theo nhát cắt, không phải theo phần.

For weights, swapping 1 apple for 3 oranges of the same weight leaves the scale unchanged. Once everything is the same fruit, it is a simple division.Với cân nặng, đổi 1 quả táo lấy 3 quả cam cùng khối lượng thì cân không thay đổi. Khi tất cả là cùng một loại quả, bài toán chỉ còn một phép chia.

Worked exampleVí dụ
  1. Cutting a log into 5 pieces takes 12 minutes. How long for 9 pieces?Cắt một khúc gỗ thành 5 phần mất 12 phút. Cắt thành 9 phần mất bao lâu?
  2. 5 pieces means 4 cuts, so one cut takes 12 ÷ 4 = 3 minutes.5 phần cần 4 nhát cắt, nên mỗi nhát mất 12 : 4 = 3 phút.
  3. 9 pieces means 8 cuts: 8 × 3 = 24 minutes.9 phần cần 8 nhát cắt: 8 × 3 = 24 phút.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Cutting into 4 pieces takes 15 minutes. How long for 8 pieces?Cắt thành 4 phần mất 15 phút. Cắt thành 8 phần mất bao lâu?
    Show answerXem đáp án3535. 3 cuts take 15 min, so 5 min each. 7 cuts × 5 = 35.3 nhát mất 15 phút, nên mỗi nhát 5 phút. 7 nhát × 5 = 35.
  2. Cutting into 6 pieces takes 20 minutes. How long for 11 pieces?Cắt thành 6 phần mất 20 phút. Cắt thành 11 phần mất bao lâu?
    Show answerXem đáp án4040. 5 cuts take 20 min, so 4 min each. 10 cuts × 4 = 40.5 nhát mất 20 phút, nên mỗi nhát 4 phút. 10 nhát × 4 = 40.
  3. 2 apples and 4 oranges weigh 400 g. One apple weighs the same as 3 oranges. How many grams is 1 apple?2 quả táo và 4 quả cam nặng 400 g. Một quả táo nặng bằng 3 quả cam. 1 quả táo nặng bao nhiêu gam?
    Show answerXem đáp án120120. That equals 6 + 4 = 10 oranges, so 1 orange is 40 g and 1 apple is 120 g.Tổng bằng 6 + 4 = 10 quả cam, nên 1 quả cam nặng 40 g và 1 quả táo nặng 120 g.
More practice (6)Luyện thêm (6)
  1. Cutting into 3 pieces takes 8 minutes. How long for 7 pieces?Cắt thành 3 phần mất 8 phút. Cắt thành 7 phần mất bao lâu?
    Show answerXem đáp án2424. 2 cuts take 8 min, so 4 min each. 6 cuts × 4 = 24.2 nhát mất 8 phút, nên mỗi nhát 4 phút. 6 nhát × 4 = 24.
  2. Cutting into 8 pieces takes 21 minutes. How long for 5 pieces?Cắt thành 8 phần mất 21 phút. Cắt thành 5 phần mất bao lâu?
    Show answerXem đáp án1212. 7 cuts take 21 min, so 3 min each. 4 cuts × 3 = 12.7 nhát mất 21 phút, nên mỗi nhát 3 phút. 4 nhát × 3 = 12.
  3. Cutting into 5 pieces takes 16 minutes. How long for 10 pieces?Cắt thành 5 phần mất 16 phút. Cắt thành 10 phần mất bao lâu?
    Show answerXem đáp án3636. 4 cuts take 16 min, so 4 min each. 9 cuts × 4 = 36.4 nhát mất 16 phút, nên mỗi nhát 4 phút. 9 nhát × 4 = 36.
  4. 2 apples and 3 oranges weigh 350 g. One apple weighs the same as 2 oranges. How many grams is 1 apple?2 quả táo và 3 quả cam nặng 350 g. Một quả táo nặng bằng 2 quả cam. 1 quả táo nặng bao nhiêu gam?
    Show answerXem đáp án100100. That equals 4 + 3 = 7 oranges, so 1 orange is 50 g.Tổng bằng 4 + 3 = 7 quả cam, nên 1 quả cam nặng 50 g.
  5. 3 apples and 1 orange weigh 500 g. One apple weighs the same as 3 oranges. How many grams is 1 apple?3 quả táo và 1 quả cam nặng 500 g. Một quả táo nặng bằng 3 quả cam. 1 quả táo nặng bao nhiêu gam?
    Show answerXem đáp án150150. That equals 9 + 1 = 10 oranges, so 1 orange is 50 g.Tổng bằng 9 + 1 = 10 quả cam, nên 1 quả cam nặng 50 g.
  6. 4 apples and 4 oranges weigh 600 g. One apple weighs the same as 2 oranges. How many grams is 1 orange?4 quả táo và 4 quả cam nặng 600 g. Một quả táo nặng bằng 2 quả cam. 1 quả cam nặng bao nhiêu gam?
    Show answerXem đáp án5050. That equals 8 + 4 = 12 oranges, so 1 orange is 50 g.Tổng bằng 8 + 4 = 12 quả cam, nên 1 quả cam nặng 50 g.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. Walking from floor 1 to floor 3 takes 20 seconds. How long from floor 1 to floor 6, at the same speed?Đi từ tầng 1 lên tầng 3 mất 20 giây. Đi từ tầng 1 lên tầng 6 mất bao lâu, với cùng tốc độ?
    Show answerXem đáp án5050. 2 flights take 20, so 10 each. 5 flights × 10.2 lượt cầu thang mất 20 giây, mỗi lượt 10. 5 lượt × 10.
  2. Trees are planted along a 100 m road, 5 m apart, with one at each end. How many trees?Trồng cây dọc đường dài 100 m, cách nhau 5 m, có cây ở cả hai đầu. Có bao nhiêu cây?
    Show answerXem đáp án2121. 20 gaps, and trees are 1 more than gaps.20 khoảng, và số cây nhiều hơn số khoảng 1.

From the book:Trong sách: Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q21Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 21

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q3  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q5, Q25  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q1, Q23Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 3  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 5, câu 25  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 1, câu 23

Timed book set: 8 questions in 20 minutesBài trong sách, tính giờ: 8 câu trong 20 phút

Questions:Các câu: Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q2, Q3, Q5  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q1, Q2, Q4  ·  Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q1, Q3Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 2, câu 3, câu 5  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 1, câu 2, câu 4  ·  Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 1, câu 3

Harder, optional: 5 questions in 18 minutesKhó hơn, không bắt buộc: 5 câu trong 18 phút

Questions:Các câu: Heat 4 (p. 47, answers p. 141): Q1, Q2, Q3, Q4, Q5Quốc gia đề 4 (tr. 47, đáp án tr. 141): câu 1, câu 2, câu 3, câu 4, câu 5

AnswersĐáp án

1.61.6: 1. 23; 2. 23; 3. 25; 4. 21; 5. 24; 6. 14; 7. 49; 8. 42; 9. 61; 10. 361. 23; 2. 23; 3. 25; 4. 21; 5. 24; 6. 14; 7. 49; 8. 42; 9. 61; 10. 36

1.71.7: 1. 6; 2. 25; 3. 8; 4. 75; 5. 70; 6. 60; 7. 15; 8. 86; 9. 22; 10. 1441. 6; 2. 25; 3. 8; 4. 75; 5. 70; 6. 60; 7. 15; 8. 86; 9. 22; 10. 144

MixedTổng hợp: 1. M; 2. 21; 3. 25; 4. Monday; 5. Thursday; 6. Thursday; 7. 28; 8. 9; 9. 28; 10. 101. M; 2. 21; 3. 25; 4. Thứ Hai; 5. Thứ Năm; 6. Thứ Năm; 7. 28; 8. 9; 9. 28; 10. 10

1.51.5: 1. 35; 2. 40; 3. 120; 4. 24; 5. 12; 6. 36; 7. 100; 8. 150; 9. 50; 10. 50; 11. 211. 35; 2. 40; 3. 120; 4. 24; 5. 12; 6. 36; 7. 100; 8. 150; 9. 50; 10. 50; 11. 21

‹ DayNgày 2DayNgày 4 ›
DayNgày 4
Arithmetic, day 1 of 3Số học, ngày 1/3

Find the shared number and Evenly spaced sumsTìm số chung và Tổng dãy số cách đều

These questions reward spotting a shortcut before calculating. Ask "what is the same in each part?" before the child picks up the pencil. Lesson 2.3 mostly matters for the Heat Round, so skip it if the child only sits the Preliminary Round.Các câu này thưởng cho việc nhìn ra cách tính nhanh trước khi bắt tay tính. Hãy hỏi con "mỗi phần có gì giống nhau?" trước khi con cầm bút. Bài 2.3 chủ yếu cần cho Vòng quốc gia, nên có thể bỏ qua nếu con chỉ thi Vòng loại.

English words for this topicTừ tiếng Anh của chủ đề này
  • value: giá trị
  • sum: tổng
  • difference: hiệu
  • product: tích
  • method: phương pháp

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

2.1 Find the shared numberTìm số chung

Tính chất phân phốiFind the shared number

If every part has the same number, pull it out: a × b + a × c = a × (b + c). The same works for dividing by the same number: 29 ÷ 7 + 41 ÷ 7 = (29 + 41) ÷ 7.
Watch out: 120 ÷ 2 + 120 ÷ 3 cannot be joined, because the numbers you divide by are different. Work out each part.Nếu mọi phần đều có cùng một số, hãy đưa số đó ra ngoài: a × b + a × c = a × (b + c). Với phép chia cho cùng một số cũng vậy: 29 : 7 + 41 : 7 = (29 + 41) : 7.
Chú ý: 120 : 2 + 120 : 3 không gộp được, vì hai số chia khác nhau. Hãy tính từng phần.

Why it worksVì sao đúng

Picture bags with 25 sweets each. 25 × 7 is 7 bags and 25 × 5 is 5 more bags, which makes 12 bags. Take away 2 bags and you have 10 bags of 25. You only needed to count bags.Hãy tưởng tượng các túi, mỗi túi có 25 cái kẹo. 25 × 7 là 7 túi và 25 × 5 là thêm 5 túi, tất cả 12 túi. Bớt 2 túi còn 10 túi, mỗi túi 25 cái. Em chỉ cần đếm số túi.

Dividing works the same way when the group size is the same. Putting 29 sweets into groups of 7 and then 41 sweets into groups of 7 gives the same number of groups as putting all of them in together.Phép chia cũng vậy khi cỡ nhóm giống nhau. Chia 29 cái kẹo thành các nhóm 7 cái, rồi chia 41 cái thành các nhóm 7 cái, cũng được số nhóm bằng khi gộp tất cả lại rồi mới chia.

120 ÷ 2 + 120 ÷ 3 cannot be joined because the group sizes differ. Groups of 2 and groups of 3 are different things to count, like adding bags of different sizes.120 : 2 + 120 : 3 không gộp được vì cỡ nhóm khác nhau. Nhóm 2 cái và nhóm 3 cái là hai thứ khác nhau, giống như cộng các túi có cỡ khác nhau.

Worked exampleVí dụ
  1. 25 × 7 + 25 × 5 − 25 × 2 = 25 × (7 + 5 − 2) = 25 × 10 = 250.25 × 7 + 25 × 5 − 25 × 2 = 25 × (7 + 5 − 2) = 25 × 10 = 250.
  2. Sometimes it hides: 13 × 8 + 26 × 6. Since 26 = 13 × 2, this is 13 × 8 + 13 × 12.Đôi khi số chung bị ẩn: 13 × 8 + 26 × 6. Vì 26 = 13 × 2, nên đây là 13 × 8 + 13 × 12.
  3. 13 × (8 + 12) = 13 × 20 = 260.13 × (8 + 12) = 13 × 20 = 260.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 37 × 6 + 37 × 437 × 6 + 37 × 4
    Show answerXem đáp án370370. 37 × 10.37 × 10.
  2. 58 × 23 − 58 × 1358 × 23 − 58 × 13
    Show answerXem đáp án580580. 58 × 10.58 × 10.
  3. 16 × 7 + 32 × 416 × 7 + 32 × 4
    Show answerXem đáp án240240. 32 × 4 = 16 × 8, so 16 × 15.32 × 4 = 16 × 8, nên bằng 16 × 15.
  4. 29 ÷ 7 + 41 ÷ 7 − 14 ÷ 729 : 7 + 41 : 7 − 14 : 7
    Show answerXem đáp án88. (29 + 41 − 14) ÷ 7 = 56 ÷ 7.(29 + 41 − 14) : 7 = 56 : 7.
  5. 240 ÷ 3 + 240 ÷ 4 + 240 ÷ 6240 : 3 + 240 : 4 + 240 : 6
    Show answerXem đáp án180180. 80 + 60 + 40. These cannot be joined.80 + 60 + 40. Không gộp được các phần này.
More practice (10)Luyện thêm (10)
  1. 43 × 8 + 43 × 243 × 8 + 43 × 2
    Show answerXem đáp án430430. 43 × 10.43 × 10.
  2. 29 × 17 + 29 × 329 × 17 + 29 × 3
    Show answerXem đáp án580580. 29 × 20.29 × 20.
  3. 76 × 34 − 76 × 2476 × 34 − 76 × 24
    Show answerXem đáp án760760. 76 × 10.76 × 10.
  4. 15 × 12 + 15 × 9 − 15 × 115 × 12 + 15 × 9 − 15 × 1
    Show answerXem đáp án300300. 15 × 20.15 × 20.
  5. 64 × 25 − 64 × 15 + 64 × 1064 × 25 − 64 × 15 + 64 × 10
    Show answerXem đáp án12801280. 64 × 20.64 × 20.
  6. 21 × 8 + 42 × 621 × 8 + 42 × 6
    Show answerXem đáp án420420. 42 × 6 = 21 × 12, so 21 × 20.42 × 6 = 21 × 12, nên bằng 21 × 20.
  7. 35 × 7 + 70 × 4 − 35 × 535 × 7 + 70 × 4 − 35 × 5
    Show answerXem đáp án350350. 70 × 4 = 35 × 8, so 35 × 10.70 × 4 = 35 × 8, nên bằng 35 × 10.
  8. 53 ÷ 9 + 28 ÷ 953 : 9 + 28 : 9
    Show answerXem đáp án99. (53 + 28) ÷ 9 = 81 ÷ 9.(53 + 28) : 9 = 81 : 9.
  9. 95 ÷ 8 − 31 ÷ 8 + 24 ÷ 895 : 8 − 31 : 8 + 24 : 8
    Show answerXem đáp án1111. (95 − 31 + 24) ÷ 8 = 88 ÷ 8.(95 − 31 + 24) : 8 = 88 : 8.
  10. 420 ÷ 2 + 420 ÷ 5 + 420 ÷ 7420 : 2 + 420 : 5 + 420 : 7
    Show answerXem đáp án354354. 210 + 84 + 60. These cannot be joined.210 + 84 + 60. Không gộp được các phần này.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. 37 × 101 − 3737 × 101 − 37
    Show answerXem đáp án37003700. 37 × 100.37 × 100.
  2. 99 × 48 + 4899 × 48 + 48
    Show answerXem đáp án48004800. 100 × 48.100 × 48.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q6, Q8  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q8  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q6Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 6, câu 8  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 8  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 6

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q6, Q7  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q8Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 6, câu 7  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 8

2.2 Evenly spaced sumsTổng dãy số cách đều

Dãy số cách đềuEvenly spaced sums

How many numbers? (last − first) ÷ gap + 1.
Sum: (first + last) × how many ÷ 2.
Mountain sums: 1 + 2 + … + n + … + 2 + 1 = n × n.
Plus-minus sums: pair them up, and each pair gives the same answer.Có bao nhiêu số? (số cuối − số đầu) : khoảng cách + 1.
Tổng: (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2.
Tổng hình núi: 1 + 2 + … + n + … + 2 + 1 = n × n.
Tổng cộng trừ xen kẽ: ghép cặp, mỗi cặp cho cùng một kết quả.

Why it worksVì sao đúng
1+2+3+4+3+2+1= 4 × 4 = 16
1+2+3+4+3+2+1= 4 × 4 = 16

How many: think of hopping along the numbers. From 5 to 32 is 27, and each hop is 3, so that is 9 hops. You also stand on the starting number before any hop, so there are 9 + 1 = 10 numbers.Có bao nhiêu số: hãy nghĩ đến việc nhảy dọc theo các số. Từ 5 đến 32 là 27, mỗi bước nhảy là 3, vậy có 9 bước. Em còn đứng ở số đầu trước khi nhảy, nên có 9 + 1 = 10 số.

Sum: write the sum forward, then backward underneath it. 5 + 32, then 8 + 29, then 11 + 26: every column adds to the same 37. With 10 columns that is 37 × 10, but we wrote the sum twice, so divide by 2.Tổng: viết tổng theo chiều xuôi, rồi viết ngược ở bên dưới. 5 + 32, rồi 8 + 29, rồi 11 + 26: cột nào cũng có tổng là 37. Có 10 cột nên được 37 × 10, nhưng ta đã viết tổng hai lần, nên chia cho 2.

Mountain: look at the slanted lines in the square of dots. Going across, they hold 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 dots. That is the mountain sum, and it counts every dot in a 4 × 4 square.Hình núi: nhìn các đường chéo trong hình vuông chấm. Lần lượt chúng có 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 chấm. Đó là tổng hình núi, và nó đếm mọi chấm trong hình vuông 4 × 4.

Plus-minus: each number is the same distance below the one before it, so every minus pair gives the same answer. You count pairs and multiply.Cộng trừ xen kẽ: mỗi số cách số trước cùng một khoảng, nên mọi cặp đều cho cùng một kết quả. Em đếm số cặp rồi nhân.

Worked exampleVí dụ
  1. 5 + 8 + 11 + … + 32. The gap is 3.5 + 8 + 11 + … + 32. Khoảng cách là 3.
  2. How many: (32 − 5) ÷ 3 + 1 = 10.Số số hạng: (32 − 5) : 3 + 1 = 10.
  3. Sum: (5 + 32) × 10 ÷ 2 = 185.Tổng: (5 + 32) × 10 : 2 = 185.
  4. Plus-minus: 20 − 18 + 16 − 14 + 12 − 10 is three pairs of 2, so 6.Cộng trừ xen kẽ: 20 − 18 + 16 − 14 + 12 − 10 là ba cặp, mỗi cặp bằng 2, nên bằng 6.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 4 + 8 + 12 + … + 404 + 8 + 12 + … + 40
    Show answerXem đáp án220220. 10 numbers: (4 + 40) × 10 ÷ 2.10 số: (4 + 40) × 10 : 2.
  2. 10 + 13 + 16 + … + 4910 + 13 + 16 + … + 49
    Show answerXem đáp án413413. 14 numbers: (10 + 49) × 14 ÷ 2.14 số: (10 + 49) × 14 : 2.
  3. 1 + 2 + … + 6 + 7 + 6 + … + 2 + 11 + 2 + … + 6 + 7 + 6 + … + 2 + 1
    Show answerXem đáp án4949. Mountain with top 7: 7 × 7.Hình núi có đỉnh 7: 7 × 7.
  4. 30 − 28 + 26 − 24 + … + 6 − 430 − 28 + 26 − 24 + … + 6 − 4
    Show answerXem đáp án1414. 14 numbers make 7 pairs of 2.14 số tạo thành 7 cặp, mỗi cặp bằng 2.
  5. 50 − 47 + 44 − 41 + … + 8 − 550 − 47 + 44 − 41 + … + 8 − 5
    Show answerXem đáp án2424. 16 numbers make 8 pairs of 3.16 số tạo thành 8 cặp, mỗi cặp bằng 3.
More practice (10)Luyện thêm (10)
  1. 3 + 7 + 11 + … + 393 + 7 + 11 + … + 39
    Show answerXem đáp án210210. 10 numbers: (3 + 39) × 10 ÷ 2.10 số: (3 + 39) × 10 : 2.
  2. 12 + 17 + 22 + … + 5712 + 17 + 22 + … + 57
    Show answerXem đáp án345345. 10 numbers: (12 + 57) × 10 ÷ 2.10 số: (12 + 57) × 10 : 2.
  3. 8 + 14 + 20 + … + 628 + 14 + 20 + … + 62
    Show answerXem đáp án350350. 10 numbers: (8 + 62) × 10 ÷ 2.10 số: (8 + 62) × 10 : 2.
  4. 100 + 110 + 120 + … + 190100 + 110 + 120 + … + 190
    Show answerXem đáp án14501450. 10 numbers: (100 + 190) × 10 ÷ 2.10 số: (100 + 190) × 10 : 2.
  5. 1 + 2 + … + 8 + 9 + 8 + … + 2 + 11 + 2 + … + 8 + 9 + 8 + … + 2 + 1
    Show answerXem đáp án8181. Mountain with top 9: 9 × 9.Hình núi có đỉnh 9: 9 × 9.
  6. 1 + 2 + … + 11 + 12 + 11 + … + 2 + 11 + 2 + … + 11 + 12 + 11 + … + 2 + 1
    Show answerXem đáp án144144. Mountain with top 12: 12 × 12.Hình núi có đỉnh 12: 12 × 12.
  7. 40 − 38 + 36 − 34 + … + 12 − 1040 − 38 + 36 − 34 + … + 12 − 10
    Show answerXem đáp án1616. 16 numbers make 8 pairs of 2.16 số tạo thành 8 cặp, mỗi cặp bằng 2.
  8. 35 − 32 + 29 − 26 + … + 11 − 835 − 32 + 29 − 26 + … + 11 − 8
    Show answerXem đáp án1515. 10 numbers make 5 pairs of 3.10 số tạo thành 5 cặp, mỗi cặp bằng 3.
  9. 77 − 72 + 67 − 62 + … + 7 − 277 − 72 + 67 − 62 + … + 7 − 2
    Show answerXem đáp án4040. 16 numbers make 8 pairs of 5.16 số tạo thành 8 cặp, mỗi cặp bằng 5.
  10. 91 − 87 + 83 − 79 + … + 11 − 791 − 87 + 83 − 79 + … + 11 − 7
    Show answerXem đáp án4444. 22 numbers make 11 pairs of 4.22 số tạo thành 11 cặp, mỗi cặp bằng 4.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. What is the sum of all 2-digit odd numbers?Tính tổng tất cả các số lẻ có 2 chữ số.
    Show answerXem đáp án24752475. 45 numbers: (11 + 99) × 45 ÷ 2.45 số: (11 + 99) × 45 : 2.
  2. What is the sum of all multiples of 7 below 100?Tính tổng tất cả các bội của 7 nhỏ hơn 100.
    Show answerXem đáp án735735. 14 numbers: (7 + 98) × 14 ÷ 2.14 số: (7 + 98) × 14 : 2.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q7, Q9  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q7  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q9Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 7, câu 9  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 7  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 9

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q9, Q10  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q9, Q10Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 9, câu 10  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 9, câu 10

AnswersĐáp án

2.12.1: 1. 370; 2. 580; 3. 240; 4. 8; 5. 180; 6. 430; 7. 580; 8. 760; 9. 300; 10. 1280; 11. 420; 12. 350; 13. 9; 14. 11; 15. 354; 16. 3700; 17. 48001. 370; 2. 580; 3. 240; 4. 8; 5. 180; 6. 430; 7. 580; 8. 760; 9. 300; 10. 1280; 11. 420; 12. 350; 13. 9; 14. 11; 15. 354; 16. 3700; 17. 4800

2.22.2: 1. 220; 2. 413; 3. 49; 4. 14; 5. 24; 6. 210; 7. 345; 8. 350; 9. 1450; 10. 81; 11. 144; 12. 16; 13. 15; 14. 40; 15. 44; 16. 2475; 17. 7351. 220; 2. 413; 3. 49; 4. 14; 5. 24; 6. 210; 7. 345; 8. 350; 9. 1450; 10. 81; 11. 144; 12. 16; 13. 15; 14. 40; 15. 44; 16. 2475; 17. 735

‹ DayNgày 3DayNgày 5 ›
DayNgày 5
Arithmetic, day 2 of 3Số học, ngày 2/3

Doubling sums and Friendly numbers and digit puzzlesTổng dãy gấp đôi và Tính nhanh và phép tính ẩn chữ số

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

Warm-upKhởi động
  1. 64 × 9 + 6464 × 9 + 64
    Show answerXem đáp án640640. 64 × 9 + 64 × 1 = 64 × 10.64 × 9 + 64 × 1 = 64 × 10.
  2. 3 + 6 + 9 + … + 303 + 6 + 9 + … + 30
    Show answerXem đáp án165165. 10 numbers: (3 + 30) × 10 ÷ 2.10 số: (3 + 30) × 10 : 2.

2.3 Doubling sumsTổng dãy gấp đôi

Dãy số nhânDoubling sums

When each number doubles, call the sum S. Write 2 × S underneath, shifted along. Almost everything cancels, leaving 2 × (last number) − first number.Khi mỗi số gấp đôi số trước, gọi tổng là S. Viết 2 × S bên dưới, lệch sang một vị trí. Gần như mọi số đều triệt tiêu, chỉ còn 2 × (số cuối) − số đầu.

Why it worksVì sao đúng

Doubling every number in the sum gives the same list moved along by one, because the double of each number is the next number. So S and 2 × S share 6, 12, 24 and 48.Gấp đôi mỗi số trong tổng sẽ được chính dãy đó lệch đi một vị trí, vì gấp đôi mỗi số là số tiếp theo. Vậy S và 2 × S có chung 6, 12, 24 và 48.

When you subtract, those shared numbers cancel. Only the new last number (96) and the old first number (3) are left. Also, 2 × S − S is just one S, so the answer is S.Khi trừ, các số chung triệt tiêu. Chỉ còn số cuối mới (96) và số đầu cũ (3). Ngoài ra, 2 × S − S chính là một S, nên kết quả là S.

If the numbers triple, use 3 × S. Then 3 × S − S is 2 × S, so you need one extra step: divide by 2.Nếu các số gấp ba, hãy dùng 3 × S. Khi đó 3 × S − S là 2 × S, nên cần thêm một bước: chia cho 2.

Worked exampleVí dụ
  1. S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48
  2. 2 × S = 6 + 12 + 24 + 48 + 962 × S = 6 + 12 + 24 + 48 + 96
  3. Subtract: S = 96 − 3 = 93.Lấy hiệu: S = 96 − 3 = 93.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 641 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
    Show answerXem đáp án127127. 2 × 64 − 1.2 × 64 − 1.
  2. 5 + 10 + 20 + 40 + 805 + 10 + 20 + 40 + 80
    Show answerXem đáp án155155. 2 × 80 − 5.2 × 80 − 5.
  3. 7 + 14 + 28 + … + 2247 + 14 + 28 + … + 224
    Show answerXem đáp án441441. 2 × 224 − 7.2 × 224 − 7.
  4. Challenge: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 (each number triples)Thử thách: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 (mỗi số gấp ba số trước)
    Show answerXem đáp án121121. 3 × S − S = 243 − 1 = 242, so 2 × S = 242.3 × S − S = 243 − 1 = 242, nên 2 × S = 242.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. 2 + 4 + 8 + … + 642 + 4 + 8 + … + 64
    Show answerXem đáp án126126. 2 × 64 − 2.2 × 64 − 2.
  2. 3 + 6 + 12 + … + 963 + 6 + 12 + … + 96
    Show answerXem đáp án189189. 2 × 96 − 3.2 × 96 − 3.
  3. 4 + 8 + 16 + … + 644 + 8 + 16 + … + 64
    Show answerXem đáp án124124. 2 × 64 − 4.2 × 64 − 4.
  4. 6 + 12 + 24 + … + 1926 + 12 + 24 + … + 192
    Show answerXem đáp án378378. 2 × 192 − 6.2 × 192 − 6.
  5. 9 + 18 + 36 + … + 1449 + 18 + 36 + … + 144
    Show answerXem đáp án279279. 2 × 144 − 9.2 × 144 − 9.
  6. 11 + 22 + 44 + … + 17611 + 22 + 44 + … + 176
    Show answerXem đáp án341341. 2 × 176 − 11.2 × 176 − 11.
  7. Challenge: 2 + 6 + 18 + … + 54 (each number triples)Thử thách: 2 + 6 + 18 + … + 54 (mỗi số gấp ba số trước)
    Show answerXem đáp án8080. 2 × S = 162 − 2 = 160.2 × S = 162 − 2 = 160.
  8. Challenge: 1 + 3 + 9 + … + 243 (each number triples)Thử thách: 1 + 3 + 9 + … + 243 (mỗi số gấp ba số trước)
    Show answerXem đáp án364364. 2 × S = 729 − 1 = 728.2 × S = 729 − 1 = 728.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. Lan saves $3 on day 1 and doubles it each day. How much has she saved in total after 6 days?Lan để dành $3 trong ngày 1 và gấp đôi mỗi ngày. Sau 6 ngày Lan để dành tổng cộng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án189189. 3 + 6 + … + 96 = 2 × 96 − 3.3 + 6 + … + 96 = 2 × 96 − 3.
  2. A story spreads: 1 person on day 1, and each day twice as many new people hear it. How many have heard it after 8 days?Một câu chuyện lan truyền: 1 người trong ngày 1, mỗi ngày số người mới nghe gấp đôi. Sau 8 ngày có bao nhiêu người đã nghe?
    Show answerXem đáp án255255. 2 × 128 − 1.2 × 128 − 1.

From the book:Trong sách: Prelim 7 (p. 32, answers p. 137): Q10Vòng loại đề 7 (tr. 32, đáp án tr. 137): câu 10

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q7  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q7Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 7  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 7

2.4 Friendly numbers and digit puzzlesTính nhanh và phép tính ẩn chữ số

Tính nhanhFriendly numbers and digit puzzles

Look for partners that make round numbers: 243 + 757 = 1000, 25 × 4 = 100, 125 × 8 = 1000. In long × and ÷ strings, each number keeps the sign in front of it when you move it.
In digit puzzles, start with the ones column and remember the carry.Tìm các cặp số tạo thành số tròn: 243 + 757 = 1000, 25 × 4 = 100, 125 × 8 = 1000. Trong dãy phép × và :, mỗi số giữ nguyên dấu đứng trước nó khi di chuyển.
Với bài ẩn chữ số, hãy bắt đầu từ hàng đơn vị và nhớ phần nhớ sang hàng chục.

Why it worksVì sao đúng

Adding and multiplying can be done in any order, so you are free to choose the easy order. 25 × 17 × 4 and 25 × 4 × 17 have the same answer.Phép cộng và phép nhân làm theo thứ tự nào cũng được, nên em được chọn thứ tự dễ. 25 × 17 × 4 và 25 × 4 × 17 có cùng kết quả.

In a × and ÷ string, every number with × goes on top and every number with ÷ goes underneath. That is why a number must keep the sign in front of it when it moves: the sign says which side it belongs on.Trong dãy × và :, mọi số có dấu × nằm trên tử, mọi số có dấu : nằm dưới mẫu. Vì vậy mỗi số phải giữ dấu đứng trước nó khi di chuyển: dấu đó cho biết số thuộc phía nào.

In digit puzzles, you start with the ones because nothing carries into them. Ten ones make one ten, so a ones total above 9 passes 1 to the tens column.Với bài ẩn chữ số, ta bắt đầu từ hàng đơn vị vì không có gì nhớ vào hàng này. Mười đơn vị là một chục, nên tổng hàng đơn vị lớn hơn 9 sẽ nhớ 1 sang hàng chục.

Worked exampleVí dụ
  1. 54 ÷ 9 × 100 × 2 ÷ 4 = (54 ÷ 9) × (100 ÷ 4) × 2 = 6 × 25 × 2 = 300.54 : 9 × 100 × 2 : 4 = (54 : 9) × (100 : 4) × 2 = 6 × 25 × 2 = 300.
  2. A4 + 3B = 72. Ones: 4 + B ends in 2, so B = 8 and we carry 1.A4 + 3B = 72. Hàng đơn vị: 4 + B có tận cùng là 2, nên B = 8 và nhớ 1.
  3. Tens: A + 3 + 1 = 7, so A = 3. Check: 34 + 38 = 72.Hàng chục: A + 3 + 1 = 7, nên A = 3. Thử lại: 34 + 38 = 72.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 198 + 367 + 802 + 133198 + 367 + 802 + 133
    Show answerXem đáp án15001500. (198 + 802) + (367 + 133).(198 + 802) + (367 + 133).
  2. 25 × 17 × 425 × 17 × 4
    Show answerXem đáp án17001700. 25 × 4 = 100.25 × 4 = 100.
  3. 36 ÷ 8 × 100 ÷ 9 × 236 : 8 × 100 : 9 × 2
    Show answerXem đáp án100100. (36 ÷ 9) × (100 ÷ 8 × 2) = 4 × 25.(36 : 9) × (100 : 8 × 2) = 4 × 25.
  4. A7 + 2B = 63, where A and B are digits. What is A?A7 + 2B = 63, trong đó A và B là các chữ số. A bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án33. Ones: 7 + B ends in 3, so B = 6 and we carry 1. Tens: A + 2 + 1 = 6. Check: 37 + 26 = 63.Hàng đơn vị: 7 + B có tận cùng là 3, nên B = 6 và nhớ 1. Hàng chục: A + 2 + 1 = 6. Thử lại: 37 + 26 = 63.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. 156 + 277 + 844 + 123156 + 277 + 844 + 123
    Show answerXem đáp án14001400. (156 + 844) + (277 + 123).(156 + 844) + (277 + 123).
  2. 375 + 490 + 625 + 510375 + 490 + 625 + 510
    Show answerXem đáp án20002000. (375 + 625) + (490 + 510).(375 + 625) + (490 + 510).
  3. 999 + 451 + 1 + 549999 + 451 + 1 + 549
    Show answerXem đáp án20002000. (999 + 1) + (451 + 549).(999 + 1) + (451 + 549).
  4. 4 × 39 × 254 × 39 × 25
    Show answerXem đáp án39003900. 4 × 25 = 100.4 × 25 = 100.
  5. 8 × 13 × 1258 × 13 × 125
    Show answerXem đáp án1300013000. 8 × 125 = 1000.8 × 125 = 1000.
  6. 48 ÷ 6 × 100 ÷ 8 × 548 : 6 × 100 : 8 × 5
    Show answerXem đáp án500500. (48 ÷ 6 ÷ 8) × 100 × 5 = 1 × 500.(48 : 6 : 8) × 100 × 5 = 1 × 500.
  7. A5 + 1B = 44, where A and B are digits. What is A?A5 + 1B = 44, trong đó A và B là các chữ số. A bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án22. Check: 25 + 19 = 44.Thử lại: 25 + 19 = 44.
  8. A9 + 3B = 82, where A and B are digits. What is B?A9 + 3B = 82, trong đó A và B là các chữ số. B bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án33. Check: 49 + 33 = 82.Thử lại: 49 + 33 = 82.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. 7A + A7 = 110, where A is a digit. What is A?7A + A7 = 110, trong đó A là một chữ số. A bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án33. Check: 73 + 37 = 110.Thử lại: 73 + 37 = 110.
  2. AA + AA = 1B2, where A and B are digits. What is B?AA + AA = 1B2, trong đó A và B là các chữ số. B bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án33. Check: 66 + 66 = 132.Thử lại: 66 + 66 = 132.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q10  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q10  ·  Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q10Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 10  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 10  ·  Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 10

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q8  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q8Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 8  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 8

AnswersĐáp án

Warm-upKhởi động: 1. 640; 2. 1651. 640; 2. 165

2.32.3: 1. 127; 2. 155; 3. 441; 4. 121; 5. 126; 6. 189; 7. 124; 8. 378; 9. 279; 10. 341; 11. 80; 12. 364; 13. 189; 14. 2551. 127; 2. 155; 3. 441; 4. 121; 5. 126; 6. 189; 7. 124; 8. 378; 9. 279; 10. 341; 11. 80; 12. 364; 13. 189; 14. 255

2.42.4: 1. 1500; 2. 1700; 3. 100; 4. 3; 5. 1400; 6. 2000; 7. 2000; 8. 3900; 9. 13000; 10. 500; 11. 2; 12. 3; 13. 3; 14. 31. 1500; 2. 1700; 3. 100; 4. 3; 5. 1400; 6. 2000; 7. 2000; 8. 3900; 9. 13000; 10. 500; 11. 2; 12. 3; 13. 3; 14. 3

‹ DayNgày 4DayNgày 6 ›
DayNgày 6
Arithmetic, day 3 of 3Số học, ngày 3/3

Mixed practiceLuyện tập tổng hợp

About 60 minutes.Khoảng 60 phút. The mixed questions make the child work out which method fits. Any extra trick is mainly for the Heat Round.Các câu trộn lẫn khiến con phải tự nhận ra cần dùng cách nào. Mẹo thêm chủ yếu dành cho Vòng quốc gia.

Mixed exercisesBài tập tổng hợp
  1. 44 × 13 + 44 × 744 × 13 + 44 × 7
    Show answerXem đáp án880880. 44 × 20.44 × 20.
  2. 75 × 38 − 75 × 2875 × 38 − 75 × 28
    Show answerXem đáp án750750. 75 × 10.75 × 10.
  3. 18 × 9 + 36 × 618 × 9 + 36 × 6
    Show answerXem đáp án378378. 36 × 6 = 18 × 12, so 18 × 21.36 × 6 = 18 × 12, nên bằng 18 × 21.
  4. 52 ÷ 4 + 36 ÷ 4 − 8 ÷ 452 : 4 + 36 : 4 − 8 : 4
    Show answerXem đáp án2020. (52 + 36 − 8) ÷ 4 = 80 ÷ 4.(52 + 36 − 8) : 4 = 80 : 4.
  5. 360 ÷ 4 + 360 ÷ 5 + 360 ÷ 9360 : 4 + 360 : 5 + 360 : 9
    Show answerXem đáp án202202. 90 + 72 + 40.90 + 72 + 40.
  6. 6 + 11 + 16 + … + 516 + 11 + 16 + … + 51
    Show answerXem đáp án285285. 10 numbers: (6 + 51) × 10 ÷ 2.10 số: (6 + 51) × 10 : 2.
  7. 1 + 2 + … + 9 + 10 + 9 + … + 2 + 11 + 2 + … + 9 + 10 + 9 + … + 2 + 1
    Show answerXem đáp án100100. Mountain with top 10: 10 × 10.Hình núi có đỉnh 10: 10 × 10.
  8. 70 − 66 + 62 − 58 + … + 14 − 1070 − 66 + 62 − 58 + … + 14 − 10
    Show answerXem đáp án3232. 16 numbers make 8 pairs of 4.16 số tạo thành 8 cặp, mỗi cặp bằng 4.
  9. 4 + 8 + 16 + … + 2564 + 8 + 16 + … + 256
    Show answerXem đáp án508508. 2 × 256 − 4.2 × 256 − 4.
  10. A8 + 1B = 45, where A and B are digits. What is B?A8 + 1B = 45, trong đó A và B là các chữ số. B bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án77. Ones: 8 + B ends in 5, so B = 7 and we carry 1. Check: 28 + 17 = 45.Hàng đơn vị: 8 + B có tận cùng là 5, nên B = 7 và nhớ 1. Thử lại: 28 + 17 = 45.
Timed book set: 8 questions in 20 minutesBài trong sách, tính giờ: 8 câu trong 20 phút

Questions:Các câu: Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q6, Q9  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q6, Q7, Q8  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q7, Q8, Q9Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 6, câu 9  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 6, câu 7, câu 8  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 7, câu 8, câu 9

Harder, optional: 5 questions in 18 minutesKhó hơn, không bắt buộc: 5 câu trong 18 phút

Questions:Các câu: Heat 4 (p. 47, answers p. 141): Q6, Q7, Q8, Q9, Q10Quốc gia đề 4 (tr. 47, đáp án tr. 141): câu 6, câu 7, câu 8, câu 9, câu 10

AnswersĐáp án

MixedTổng hợp: 1. 880; 2. 750; 3. 378; 4. 20; 5. 202; 6. 285; 7. 100; 8. 32; 9. 508; 10. 71. 880; 2. 750; 3. 378; 4. 20; 5. 202; 6. 285; 7. 100; 8. 32; 9. 508; 10. 7

‹ DayNgày 5DayNgày 7 ›
DayNgày 7

Rest dayNgày nghỉ

No maths today. Play, read or go outside. Rest helps learning stick.Hôm nay không học toán. Hãy chơi, đọc sách hoặc ra ngoài. Nghỉ ngơi giúp nhớ bài lâu hơn.
‹ DayNgày 6DayNgày 8 ›
DayNgày 8

Review: multiple choiceÔn tập: trắc nghiệm

About 30 minutes.Khoảng 30 phút. Review of Logical thinking and Arithmetic in the Preliminary Round style. Click an answer to check it. Then redo one question from the mistake notebook.Ôn tập Tư duy lô-gic và Số học theo kiểu đề Vòng loại. Bấm vào đáp án để kiểm tra. Sau đó làm lại một câu trong sổ ghi lỗi sai.

  1. What is the 40th letter of K I T E K I T E …?Chữ cái thứ 40 của K I T E K I T E … là chữ gì?
    Show answerXem đáp ánEE. 40 ÷ 4 leaves 0, so the last letter.40 : 4 dư 0, nên là chữ cái cuối.
  2. Today is Saturday. What day is it 30 days later?Hôm nay là thứ Bảy. 30 ngày sau là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánMondayThứ Hai. 30 ÷ 7 leaves 2.30 : 7 dư 2.
  3. Add 3 to a number, then multiply by 4. The result is 32. What is the number?Lấy một số cộng 3, rồi nhân 4. Kết quả là 32. Số đó là số nào?
    Show answerXem đáp án55. 32 ÷ 4 = 8, 8 − 3 = 5.32 : 4 = 8, 8 − 3 = 5.
  4. 15 chickens and rabbits have 44 legs. How many rabbits?15 con gà và thỏ có 44 chân. Có bao nhiêu con thỏ?
    Show answerXem đáp án77. (44 − 30) ÷ 2.(44 − 30) : 2.
  5. Cutting into 4 pieces takes 12 minutes. How long for 7 pieces?Cắt thành 4 phần mất 12 phút. Cắt thành 7 phần mất bao lâu?
    Show answerXem đáp án2424. 3 cuts take 12, so 4 each. 6 × 4.3 nhát mất 12 phút, mỗi nhát 4 phút. 6 × 4.
  6. 24 × 7 + 24 × 324 × 7 + 24 × 3
    Show answerXem đáp án240240. 24 × 10.24 × 10.
  7. 2 + 5 + 8 + … + 292 + 5 + 8 + … + 29
    Show answerXem đáp án155155. 10 numbers: (2 + 29) × 10 ÷ 2.10 số: (2 + 29) × 10 : 2.
  8. 20 − 17 + 14 − 11 + 8 − 520 − 17 + 14 − 11 + 8 − 5
    Show answerXem đáp án99. 3 pairs of 3.3 cặp, mỗi cặp bằng 3.
  9. 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 1605 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160
    Show answerXem đáp án315315. 2 × 160 − 5.2 × 160 − 5.
  10. Four marks average 7. Three of them are 6, 8 and 9. What is the fourth?Bốn điểm số có trung bình 7. Ba điểm là 6, 8 và 9. Điểm thứ tư là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án55. 28 − 6 − 8 − 9.28 − 6 − 8 − 9.

AnswersĐáp án

ReviewÔn tập: 1. D (E); 2. A (Monday); 3. A (5); 4. B (7); 5. A (24); 6. B (240); 7. A (155); 8. C (9); 9. D (315); 10. B (5)1. D (E); 2. A (Thứ Hai); 3. A (5); 4. B (7); 5. A (24); 6. B (240); 7. A (155); 8. C (9); 9. D (315); 10. B (5)

‹ DayNgày 7DayNgày 9 ›
DayNgày 9
Number theory, day 1 of 3Lý thuyết số, ngày 1/3

Divisibility and factors and New operation symbolsChia hết và ước và Phép toán mới

3.2 and 3.3 are usually quick wins. In 3.1 the rule table is worth memorising. Copy it onto a card for the fridge.Bài 3.2 và 3.3 thường dễ ghi điểm. Ở bài 3.1, bảng dấu hiệu chia hết rất đáng học thuộc. Hãy chép ra một tấm thẻ và dán lên tủ lạnh.

English words for this topicTừ tiếng Anh của chủ đề này
  • divisible: chia hết
  • digit: chữ số
  • unit digit: chữ số tận cùng
  • factor: ước
  • consecutive: liên tiếp
  • natural number: số tự nhiên
  • operation symbol: ký hiệu phép toán
  • times of: gấp … lần

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

3.1 Divisibility and factorsChia hết và ước

Tính chia hếtDivisibility and factors

Use the table below to find missing digits without long division. Count multiples with the same formula as 2.2. Count factors by listing pairs. A square number has one pair with both numbers the same, so count that number once.Dùng bảng dưới đây để tìm chữ số còn thiếu mà không cần chia dài. Đếm bội bằng công thức giống bài 2.2. Đếm ước bằng cách liệt kê các cặp. Số chính phương có một cặp gồm hai số giống nhau, nên số đó chỉ tính một lần.

Divisible byTest
2 / 5last digit even / last digit 0 or 5
4 / 8last 2 digits / last 3 digits divide by it
3 / 9add all the digits; the total divides by it
6passes 2 and 3
12passes 3 and 4
18passes 2 and 9
45passes 5 and 9
Chia hết choDấu hiệu
2 / 5chữ số cuối chẵn / chữ số cuối là 0 hoặc 5
4 / 82 chữ số cuối / 3 chữ số cuối chia hết cho số đó
3 / 9cộng tất cả các chữ số; tổng chia hết cho số đó
6qua dấu hiệu của 2 và 3
12qua dấu hiệu của 3 và 4
18qua dấu hiệu của 2 và 9
45qua dấu hiệu của 5 và 9
Why it worksVì sao đúng

Digit sums: 372 is 3 hundreds, 7 tens and 2. Since 100 = 99 + 1 and 10 = 9 + 1, we can write 372 = 3 × 99 + 7 × 9 + (3 + 7 + 2). The parts with 99 and 9 always divide by 3 and by 9, so only 3 + 7 + 2 decides the answer.Tổng các chữ số: 372 là 3 trăm, 7 chục và 2. Vì 100 = 99 + 1 và 10 = 9 + 1, ta viết được 372 = 3 × 99 + 7 × 9 + (3 + 7 + 2). Các phần có 99 và 9 luôn chia hết cho 3 và 9, nên chỉ 3 + 7 + 2 quyết định kết quả.

Last digits: every ten divides by 2 and by 5, so only the ones digit matters. Every 100 divides by 4, so only the last two digits matter. Every 1000 divides by 8, so only the last three digits matter.Các chữ số cuối: mỗi chục chia hết cho 2 và 5, nên chỉ chữ số hàng đơn vị là quan trọng. Mỗi trăm chia hết cho 4, nên chỉ hai chữ số cuối là quan trọng. Mỗi nghìn chia hết cho 8, nên chỉ ba chữ số cuối là quan trọng.

Passing two tests: 6 = 2 × 3, and 2 and 3 share no factor, so passing both is the same as dividing by 6. That is why 12 uses 3 and 4, not 2 and 6: 2 and 6 share a factor, and 18 passes both tests but does not divide by 12.Qua hai dấu hiệu: 6 = 2 × 3, và 2 với 3 không có ước chung lớn hơn 1, nên qua cả hai cũng là chia hết cho 6. Vì vậy 12 dùng 3 và 4, không dùng 2 và 6: 2 và 6 có ước chung, và 18 chia hết cho cả 2 và 6 nhưng không chia hết cho 12.

Factor pairs: if 3 divides 36, then 36 = 3 × 12, so 12 is a factor as well. Factors come in pairs. In 6 × 6 both numbers are the same, so it adds only one factor.Cặp ước: nếu 3 là ước của 36, thì 36 = 3 × 12, nên 12 cũng là ước. Các ước đi theo cặp. Trong 6 × 6, hai số giống nhau nên chỉ thêm một ước.

Counting "or": a number that divides by both 3 and 5 sits in both lists. Subtract that overlap, or it gets counted twice.Đếm "hoặc": số chia hết cho cả 3 và 5 có mặt trong cả hai danh sách. Hãy trừ phần trùng đó, nếu không nó sẽ bị đếm hai lần.

Worked exampleVí dụ
  1. 3572A divides by 6. It must be even, and its digit sum 17 + A must divide by 3.3572A chia hết cho 6. Số này phải chẵn, và tổng các chữ số 17 + A phải chia hết cho 3.
  2. So A is 1, 4 or 7. The even one is A = 4.Vậy A là 1, 4 hoặc 7. Số chẵn trong đó là A = 4.
  3. Two-digit multiples of 6: 12 to 96. (96 − 12) ÷ 6 + 1 = 15.Các bội có hai chữ số của 6: từ 12 đến 96. (96 − 12) : 6 + 1 = 15.
  4. Factors of 36: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6. That makes 9 factors.Ước của 36: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6. Như vậy có 9 ước.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 1234A divides by 3. What is the smallest A?1234A chia hết cho 3. A nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án22. Digit sum 10 + A. The next multiple of 3 is 12.Tổng các chữ số là 10 + A. Bội tiếp theo của 3 là 12.
  2. 73A6 divides by 9. What is A?73A6 chia hết cho 9. A bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án22. Digit sum 16 + A must be 18.Tổng các chữ số 16 + A phải bằng 18.
  3. How many 2-digit numbers divide by 7?Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 7?
    Show answerXem đáp án1313. 14 to 98: (98 − 14) ÷ 7 + 1.Từ 14 đến 98: (98 − 14) : 7 + 1.
  4. How many factors does 48 have?48 có bao nhiêu ước?
    Show answerXem đáp án1010. 1×48, 2×24, 3×16, 4×12, 6×8: five pairs.1×48, 2×24, 3×16, 4×12, 6×8: năm cặp.
  5. What is the largest 3-digit number that divides by both 4 and 9?Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho cả 4 và 9 là số nào?
    Show answerXem đáp án972972. It must divide by 36. 36 × 27 = 972.Số đó phải chia hết cho 36. 36 × 27 = 972.
  6. Challenge: how many 3-digit numbers divide by 3 or 5?Thử thách: có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3 hoặc 5?
    Show answerXem đáp án420420. 300 + 180 − 60. Those dividing by both were counted twice.300 + 180 − 60. Các số chia hết cho cả hai đã được đếm hai lần.
More practice (12)Luyện thêm (12)
  1. 452A divides by 5. What is the smallest A?452A chia hết cho 5. A nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án00. It must end in 0 or 5.Số phải tận cùng là 0 hoặc 5.
  2. 61A3 divides by 9. What is A?61A3 chia hết cho 9. A bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án88. Digit sum 10 + A must be 18.Tổng các chữ số 10 + A phải bằng 18.
  3. 27A4 divides by 4. What is the smallest A?27A4 chia hết cho 4. A nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án00. The last two digits A4 must divide by 4.Hai chữ số cuối A4 phải chia hết cho 4.
  4. 38A2 divides by 6. What is the smallest A?38A2 chia hết cho 6. A nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án22. It is even already. Digit sum 13 + A must divide by 3.Số này đã chẵn. Tổng các chữ số 13 + A phải chia hết cho 3.
  5. How many 2-digit numbers divide by 6?Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 6?
    Show answerXem đáp án1515. 12 to 96: (96 − 12) ÷ 6 + 1.Từ 12 đến 96: (96 − 12) : 6 + 1.
  6. How many 2-digit numbers divide by 9?Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 9?
    Show answerXem đáp án1010. 18 to 99: (99 − 18) ÷ 9 + 1.Từ 18 đến 99: (99 − 18) : 9 + 1.
  7. How many 2-digit numbers divide by 11?Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 11?
    Show answerXem đáp án99. 11 to 99: (99 − 11) ÷ 11 + 1.Từ 11 đến 99: (99 − 11) : 11 + 1.
  8. How many 3-digit numbers divide by 50?Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 50?
    Show answerXem đáp án1818. 100 to 950: (950 − 100) ÷ 50 + 1.Từ 100 đến 950: (950 − 100) : 50 + 1.
  9. How many factors does 24 have?24 có bao nhiêu ước?
    Show answerXem đáp án88. 1×24, 2×12, 3×8, 4×6.1×24, 2×12, 3×8, 4×6.
  10. How many factors does 50 have?50 có bao nhiêu ước?
    Show answerXem đáp án66. 1×50, 2×25, 5×10.1×50, 2×25, 5×10.
  11. How many factors does 72 have?72 có bao nhiêu ước?
    Show answerXem đáp án1212. 1×72, 2×36, 3×24, 4×18, 6×12, 8×9.1×72, 2×36, 3×24, 4×18, 6×12, 8×9.
  12. What is the smallest 3-digit number that divides by both 4 and 5?Số nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho cả 4 và 5 là số nào?
    Show answerXem đáp án100100. It must divide by 20.Số đó phải chia hết cho 20.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A box of sweets can be shared exactly among 3, 4 or 5 children. What is the smallest possible number of sweets?Một hộp kẹo chia hết cho 3, 4 hoặc 5 bạn. Số kẹo nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án6060. It must divide by 3 × 4 × 5.Số đó phải chia hết cho 3 × 4 × 5.
  2. How many 2-digit numbers leave remainder 1 when divided by 2, by 3, by 4 and by 6?Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia cho 2, 3, 4 và 6 đều dư 1?
    Show answerXem đáp án88. They are 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97.Đó là 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q11, Q14, Q23  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q15Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 11, câu 14, câu 23  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 15

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q11, Q12, Q15  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q13Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 11, câu 12, câu 15  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 13

3.2 New operation symbolsPhép toán mới

Định nghĩa phép toán mớiNew operation symbols

The strange symbol is only a rule. Put the numbers in place of a and b, in the same order. Do the brackets first.Ký hiệu lạ chỉ là một quy tắc. Hãy thay các số vào vị trí của a và b, đúng thứ tự. Làm phần trong ngoặc trước.

Why it worksVì sao đúng

A symbol like ⊗ is a machine: put in two numbers, and it follows its rule. It needs real numbers to work, so (5 ⊗ 3) has to become a number before it can go in again. That is why brackets come first.Ký hiệu như ⊗ là một cái máy: đưa vào hai số, máy làm theo quy tắc. Máy cần số thật, nên (5 ⊗ 3) phải thành một số trước khi đưa vào lần nữa. Vì thế làm trong ngoặc trước.

Order matters because a and b can do different jobs. With a ★ b = a × 2 + b, 5 ★ 3 = 13 but 3 ★ 5 = 11.Thứ tự quan trọng vì a và b có thể làm việc khác nhau. Với a ★ b = a × 2 + b, 5 ★ 3 = 13 nhưng 3 ★ 5 = 11.

Worked exampleVí dụ
  1. Rule: a ⊗ b = (a + b) × (a − b). Find (5 ⊗ 3) ⊗ 2.Quy tắc: a ⊗ b = (a + b) × (a − b). Tìm (5 ⊗ 3) ⊗ 2.
  2. Brackets first: 5 ⊗ 3 = 8 × 2 = 16.Trong ngoặc trước: 5 ⊗ 3 = 8 × 2 = 16.
  3. Then 16 ⊗ 2 = 18 × 14 = 252.Sau đó 16 ⊗ 2 = 18 × 14 = 252.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. a ★ b = 2 × a + b. Find 5 ★ 3.a ★ b = 2 × a + b. Tìm 5 ★ 3.
    Show answerXem đáp án1313. 2 × 5 + 3.2 × 5 + 3.
  2. a ⊗ b = a × b − a − b. Find 6 ⊗ 4.a ⊗ b = a × b − a − b. Tìm 6 ⊗ 4.
    Show answerXem đáp án1414. 24 − 6 − 4.24 − 6 − 4.
  3. a △ b = (a + b) × 2. Find (1 △ 2) △ 3.a △ b = (a + b) × 2. Tìm (1 △ 2) △ 3.
    Show answerXem đáp án1818. 1 △ 2 = 6, then 6 △ 3 = 18.1 △ 2 = 6, rồi 6 △ 3 = 18.
  4. a ⊗ b = (a + b) × (a − b). Find 7 ⊗ (3 ⊗ 2).a ⊗ b = (a + b) × (a − b). Tìm 7 ⊗ (3 ⊗ 2).
    Show answerXem đáp án2424. 3 ⊗ 2 = 5, then 7 ⊗ 5 = 12 × 2.3 ⊗ 2 = 5, rồi 7 ⊗ 5 = 12 × 2.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. a ★ b = a + 3 × b. Find 4 ★ 5.a ★ b = a + 3 × b. Tìm 4 ★ 5.
    Show answerXem đáp án1919. Replace a and b, brackets first.Thay a và b vào, làm trong ngoặc trước.
  2. a ⊗ b = (a + b) × 2. Find 7 ⊗ 6.a ⊗ b = (a + b) × 2. Tìm 7 ⊗ 6.
    Show answerXem đáp án2626. Replace a and b, brackets first.Thay a và b vào, làm trong ngoặc trước.
  3. a △ b = a × a + b. Find 5 △ 9.a △ b = a × a + b. Tìm 5 △ 9.
    Show answerXem đáp án3434. Replace a and b, brackets first.Thay a và b vào, làm trong ngoặc trước.
  4. a ⊗ b = a × b − b. Find 8 ⊗ 3.a ⊗ b = a × b − b. Tìm 8 ⊗ 3.
    Show answerXem đáp án2121. Replace a and b, brackets first.Thay a và b vào, làm trong ngoặc trước.
  5. a ★ b = (a − b) × b. Find 9 ★ 4.a ★ b = (a − b) × b. Tìm 9 ★ 4.
    Show answerXem đáp án2020. Replace a and b, brackets first.Thay a và b vào, làm trong ngoặc trước.
  6. a △ b = a + b + 1. Find (2 △ 3) △ 4.a △ b = a + b + 1. Tìm (2 △ 3) △ 4.
    Show answerXem đáp án1111. Replace a and b, brackets first.Thay a và b vào, làm trong ngoặc trước.
  7. a ⊗ b = a × b + 1. Find 3 ⊗ (2 ⊗ 4).a ⊗ b = a × b + 1. Tìm 3 ⊗ (2 ⊗ 4).
    Show answerXem đáp án2828. Replace a and b, brackets first.Thay a và b vào, làm trong ngoặc trước.
  8. a ★ b = (a + b) × (a − b). Find (4 ★ 2) ★ 5.a ★ b = (a + b) × (a − b). Tìm (4 ★ 2) ★ 5.
    Show answerXem đáp án119119. Replace a and b, brackets first.Thay a và b vào, làm trong ngoặc trước.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. a ⊗ b = a × b + a + b. If 3 ⊗ x = 19, what is x?a ⊗ b = a × b + a + b. Nếu 3 ⊗ x = 19, x bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án44. 3 × x + 3 + x = 19, so 4 × x = 16.3 × x + 3 + x = 19, nên 4 × x = 16.
  2. a ★ b = 2 × a − b. If x ★ 1 = 9, what is x?a ★ b = 2 × a − b. Nếu x ★ 1 = 9, x bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án55. 2 × x − 1 = 9.2 × x − 1 = 9.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q13  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q13  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q13Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 13  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 13  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 13

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q13  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q14Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 13  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 14

AnswersĐáp án

3.13.1: 1. 2; 2. 2; 3. 13; 4. 10; 5. 972; 6. 420; 7. 0; 8. 8; 9. 0; 10. 2; 11. 15; 12. 10; 13. 9; 14. 18; 15. 8; 16. 6; 17. 12; 18. 100; 19. 60; 20. 81. 2; 2. 2; 3. 13; 4. 10; 5. 972; 6. 420; 7. 0; 8. 8; 9. 0; 10. 2; 11. 15; 12. 10; 13. 9; 14. 18; 15. 8; 16. 6; 17. 12; 18. 100; 19. 60; 20. 8

3.23.2: 1. 13; 2. 14; 3. 18; 4. 24; 5. 19; 6. 26; 7. 34; 8. 21; 9. 20; 10. 11; 11. 28; 12. 119; 13. 4; 14. 51. 13; 2. 14; 3. 18; 4. 24; 5. 19; 6. 26; 7. 34; 8. 21; 9. 20; 10. 11; 11. 28; 12. 119; 13. 4; 14. 5

‹ DayNgày 8DayNgày 10 ›
DayNgày 10
Number theory, day 2 of 3Lý thuyết số, ngày 2/3

Sum and ratio, difference and ratio and Last digitsTổng tỉ và hiệu tỉ và Chữ số tận cùng

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

Warm-upKhởi động
  1. How many 2-digit numbers divide by 8?Có bao nhiêu số có 2 chữ số chia hết cho 8?
    Show answerXem đáp án1111. 16 to 96: (96 − 16) ÷ 8 + 1.Từ 16 đến 96: (96 − 16) : 8 + 1.
  2. a ★ b = a × a − b. Find 6 ★ 10.a ★ b = a × a − b. Tìm 6 ★ 10.
    Show answerXem đáp án2626. 36 − 10.36 − 10.

3.3 Sum and ratio, difference and ratioTổng tỉ và hiệu tỉ

Tìm hai số biết tổng tỉ, hiệu tỉSum and ratio, difference and ratio

Draw bars. "A is 3 times B" means B is 1 part and A is 3 parts.
Given the sum: divide by the total parts (3 + 1 = 4).
Given the difference: divide by the extra parts (3 − 1 = 2).Hãy vẽ các đoạn thẳng. "A gấp 3 lần B" nghĩa là B là 1 phần và A là 3 phần.
Biết tổng: chia cho tổng số phần (3 + 1 = 4).
Biết hiệu: chia cho số phần hơn (3 − 1 = 2).

AB1212121248 in all
AB12121212Tổng 48
Why it worksVì sao đúng

"A is 3 times B" means A is exactly three B-sized bars. So all the bars are the same size, and the problem is only about sharing equally."A gấp 3 lần B" nghĩa là A đúng bằng ba đoạn bằng B. Vậy mọi đoạn đều bằng nhau, và bài toán chỉ là chia đều.

With the sum, both numbers are included, so all the bars count: 3 + 1 = 4 bars make 48.Với tổng, cả hai số đều được tính, nên mọi đoạn đều tính: 3 + 1 = 4 đoạn bằng 48.

With the difference, line A and B up side by side. B's one bar matches one of A's bars and cancels. Only the extra 3 − 1 = 2 bars are left, and those make the difference.Với hiệu, xếp A và B cạnh nhau. Một đoạn của B khớp với một đoạn của A và triệt tiêu. Chỉ còn 3 − 1 = 2 đoạn hơn, và đó chính là hiệu.

Worked exampleVí dụ
  1. A + B = 48 and A is 3 times B. 4 parts make 48, so 1 part is 12.A + B = 48 và A gấp 3 lần B. 4 phần bằng 48, nên 1 phần bằng 12.
  2. B = 12 and A = 36.B = 12 và A = 36.
  3. A − B = 30 and A is 4 times B. 3 extra parts make 30, so 1 part is 10.A − B = 30 và A gấp 4 lần B. 3 phần hơn bằng 30, nên 1 phần bằng 10.
  4. B = 10 and A = 40.B = 10 và A = 40.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. A + B = 56 and A is 6 times B. Find A.A + B = 56 và A gấp 6 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án4848. 7 parts, 1 part is 8. A = 6 × 8.7 phần, 1 phần bằng 8. A = 6 × 8.
  2. A − B = 45 and A is 4 times B. Find A.A − B = 45 và A gấp 4 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án6060. 3 extra parts, 1 part is 15. A = 4 × 15.3 phần hơn, 1 phần bằng 15. A = 4 × 15.
  3. There are 99 marbles. There are 8 times as many red as blue. How many blue?Có 99 viên bi. Số bi đỏ gấp 8 lần số bi xanh. Có bao nhiêu bi xanh?
    Show answerXem đáp án1111. 9 parts, 1 part is 11.9 phần, 1 phần bằng 11.
  4. A − B = 72 and A is 9 times B. Find B.A − B = 72 và A gấp 9 lần B. Tìm B.
    Show answerXem đáp án99. 8 extra parts, 1 part is 9.8 phần hơn, 1 phần bằng 9.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. A + B = 60 and A is 5 times B. Find A.A + B = 60 và A gấp 5 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án5050. 6 parts, 1 part is 10.6 phần, 1 phần bằng 10.
  2. A + B = 84 and A is 6 times B. Find B.A + B = 84 và A gấp 6 lần B. Tìm B.
    Show answerXem đáp án1212. 7 parts, 1 part is 12.7 phần, 1 phần bằng 12.
  3. A + B = 120 and A is 3 times B. Find A.A + B = 120 và A gấp 3 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án9090. 4 parts, 1 part is 30.4 phần, 1 phần bằng 30.
  4. A − B = 36 and A is 3 times B. Find A.A − B = 36 và A gấp 3 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án5454. 2 extra parts, 1 part is 18.2 phần hơn, 1 phần bằng 18.
  5. A − B = 90 and A is 10 times B. Find B.A − B = 90 và A gấp 10 lần B. Tìm B.
    Show answerXem đáp án1010. 9 extra parts, 1 part is 10.9 phần hơn, 1 phần bằng 10.
  6. Mai and Nam have 45 stickers in total. Mai has 4 times as many as Nam. How many does Nam have?Mai và Nam có tất cả 45 nhãn dán. Số nhãn của Mai gấp 4 lần của Nam. Nam có bao nhiêu nhãn?
    Show answerXem đáp án99. 5 parts, 1 part is 9.5 phần, 1 phần bằng 9.
  7. A red ribbon is 48 cm longer than a blue ribbon. It is 4 times as long. How long is the red ribbon in cm?Dải ruy băng đỏ dài hơn dải xanh 48 cm và dài gấp 4 lần dải xanh. Dải đỏ dài bao nhiêu cm?
    Show answerXem đáp án6464. 3 extra parts, 1 part is 16.3 phần hơn, 1 phần bằng 16.
  8. A farm has 108 ducks and geese. There are 8 times as many ducks as geese. How many ducks?Một trang trại có 108 con vịt và ngỗng. Số vịt gấp 8 lần số ngỗng. Có bao nhiêu con vịt?
    Show answerXem đáp án9696. 9 parts, 1 part is 12.9 phần, 1 phần bằng 12.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A father is 4 times as old as his son and 30 years older. How old is the son?Tuổi bố gấp 4 lần tuổi con và bố hơn con 30 tuổi. Con bao nhiêu tuổi?
    Show answerXem đáp án1010. 3 extra parts make 30.3 phần hơn bằng 30.
  2. Basket A has 3 times as many apples as basket B. Together they hold 96. How many apples must move from A to B so that the baskets are equal?Giỏ A có số táo gấp 3 lần giỏ B. Hai giỏ có tất cả 96 quả. Phải chuyển bao nhiêu quả từ A sang B để hai giỏ bằng nhau?
    Show answerXem đáp án2424. A = 72, B = 24. Each needs 48, so move 72 − 48.A = 72, B = 24. Mỗi giỏ cần 48, nên chuyển 72 − 48.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q15  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q14  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q14Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 15  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 14  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 14

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q14  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q11Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 14  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 11

3.4 Last digitsChữ số tận cùng

Tìm chữ số tận cùngLast digits

Only the last digit matters. The last digits of a repeated product go in a cycle. Divide how many times it repeats by the group size. Remainder 0 means the last item in the cycle.Chỉ chữ số cuối là quan trọng. Khi nhân lặp lại, các chữ số tận cùng tạo thành một chu kỳ. Lấy số lần lặp chia cho số phần tử của nhóm. Dư 0 nghĩa là phần tử cuối của chu kỳ.

NumberLast digits repeatGroup size
22, 4, 8, 64
33, 9, 7, 14
77, 9, 3, 14
88, 4, 2, 64
44, 62
99, 12
0, 1, 5, 6never change1
SốCác chữ số tận cùng lặp lạiSố phần tử của nhóm
22, 4, 8, 64
33, 9, 7, 14
77, 9, 3, 14
88, 4, 2, 64
44, 62
99, 12
0, 1, 5, 6không bao giờ đổi1
Why it worksVì sao đúng

Only the last digit matters: in 17 × 23, the tens parts all make numbers ending in 0. Only 7 × 3 = 21 can change the last digit, so 17 × 23 ends in 1.Chỉ chữ số cuối là quan trọng: trong 17 × 23, các phần hàng chục đều tạo ra số tận cùng là 0. Chỉ 7 × 3 = 21 mới thay đổi chữ số cuối, nên 17 × 23 tận cùng là 1.

Why it cycles: each new last digit depends only on the one before. With 7s: 7 × 7 ends in 9, 9 × 7 ends in 3, 3 × 7 ends in 1, 1 × 7 ends in 7. Now we are back at 7, so the same steps must happen again forever.Vì sao có chu kỳ: mỗi chữ số tận cùng mới chỉ phụ thuộc vào chữ số trước đó. Với số 7: 7 × 7 tận cùng là 9, 9 × 7 tận cùng là 3, 3 × 7 tận cùng là 1, 1 × 7 tận cùng là 7. Đã quay lại 7, nên các bước cứ lặp lại mãi.

The division then works just like a repeating pattern in lesson 1.1.Phép chia sau đó giống hệt dãy lặp lại ở bài 1.1.

Worked exampleVí dụ
  1. Last digit of 7 × 7 × … × 7 (30 sevens)? The cycle is 7, 9, 3, 1.Chữ số tận cùng của 7 × 7 × … × 7 (30 số 7)? Chu kỳ là 7, 9, 3, 1.
  2. 30 ÷ 4 = 7 remainder 2, so the 2nd in the cycle: 9.30 : 4 = 7 dư 2, nên là số thứ 2 trong chu kỳ: 9.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Last digit of 2 × 2 × … × 2 (41 twos)Chữ số tận cùng của 2 × 2 × … × 2 (41 số 2)
    Show answerXem đáp án22. 41 ÷ 4 leaves 1.41 : 4 dư 1.
  2. Last digit of 3 × 3 × … × 3 (50 threes)Chữ số tận cùng của 3 × 3 × … × 3 (50 số 3)
    Show answerXem đáp án99. 50 ÷ 4 leaves 2.50 : 4 dư 2.
  3. Last digit of 8 × 8 × … × 8 (23 eights)Chữ số tận cùng của 8 × 8 × … × 8 (23 số 8)
    Show answerXem đáp án22. 23 ÷ 4 leaves 3.23 : 4 dư 3.
  4. Last digit of 12 × 22 × 32 × 42 × 52Chữ số tận cùng của 12 × 22 × 32 × 42 × 52
    Show answerXem đáp án22. Same as five 2s. 5 ÷ 4 leaves 1.Giống như năm số 2. 5 : 4 dư 1.
  5. Last digit of (10 fours multiplied) × (5 threes multiplied)Chữ số tận cùng của (tích 10 số 4) × (tích 5 số 3)
    Show answerXem đáp án88. Fours end in 6. Threes end in 3. 6 × 3 = 18.Tích các số 4 tận cùng là 6. Tích các số 3 tận cùng là 3. 6 × 3 = 18.
More practice (10)Luyện thêm (10)
  1. Last digit of 2 × 2 × … × 2 (34 2s)Chữ số tận cùng của 2 × 2 × … × 2 (34 số 2)
    Show answerXem đáp án44. 34 ÷ 4 leaves 2.34 : 4 dư 2.
  2. Last digit of 3 × 3 × … × 3 (27 3s)Chữ số tận cùng của 3 × 3 × … × 3 (27 số 3)
    Show answerXem đáp án77. 27 ÷ 4 leaves 3.27 : 4 dư 3.
  3. Last digit of 7 × 7 × … × 7 (41 7s)Chữ số tận cùng của 7 × 7 × … × 7 (41 số 7)
    Show answerXem đáp án77. 41 ÷ 4 leaves 1.41 : 4 dư 1.
  4. Last digit of 8 × 8 × … × 8 (50 8s)Chữ số tận cùng của 8 × 8 × … × 8 (50 số 8)
    Show answerXem đáp án44. 50 ÷ 4 leaves 2.50 : 4 dư 2.
  5. Last digit of 4 × 4 × … × 4 (33 4s)Chữ số tận cùng của 4 × 4 × … × 4 (33 số 4)
    Show answerXem đáp án44. 33 ÷ 2 leaves 1.33 : 2 dư 1.
  6. Last digit of 9 × 9 × … × 9 (64 9s)Chữ số tận cùng của 9 × 9 × … × 9 (64 số 9)
    Show answerXem đáp án11. 64 ÷ 2 leaves 0. That means the last in the cycle.64 : 2 dư 0. Nghĩa là số cuối của chu kỳ.
  7. Last digit of 13 × 23 × 33 × 43 × 53 × 63Chữ số tận cùng của 13 × 23 × 33 × 43 × 53 × 63
    Show answerXem đáp án99. Same as six 3s. 6 ÷ 4 leaves 2.Giống như sáu số 3. 6 : 4 dư 2.
  8. Last digit of 18 × 28 × 38Chữ số tận cùng của 18 × 28 × 38
    Show answerXem đáp án22. Same as three 8s. 3 ÷ 4 leaves 3.Giống như ba số 8. 3 : 4 dư 3.
  9. Last digit of (9 twos multiplied) × (9 fives multiplied)Chữ số tận cùng của (tích 9 số 2) × (tích 9 số 5)
    Show answerXem đáp án00. Every 2 × 5 makes 10.Mỗi 2 × 5 tạo thành 10.
  10. Last digit of (6 sevens multiplied) × (11 nines multiplied)Chữ số tận cùng của (tích 6 số 7) × (tích 11 số 9)
    Show answerXem đáp án11. Sevens end in 9. Nines end in 9. 9 × 9 = 81.Tích các số 7 tận cùng là 9. Tích các số 9 tận cùng là 9. 9 × 9 = 81.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. Last digit of (10 twos multiplied) + (10 threes multiplied)Chữ số tận cùng của (tích 10 số 2) + (tích 10 số 3)
    Show answerXem đáp án33. They end in 4 and 9. 4 + 9 = 13.Hai tích tận cùng là 4 và 9. 4 + 9 = 13.
  2. Last digit of 1 × 2 × 3 × … × 10Chữ số tận cùng của 1 × 2 × 3 × … × 10
    Show answerXem đáp án00. It contains 10, so it ends in 0.Tích có thừa số 10, nên tận cùng là 0.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q12  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q12  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q12Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 12  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 12  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 12

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q11  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q14Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 11  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 14

AnswersĐáp án

Warm-upKhởi động: 1. 11; 2. 261. 11; 2. 26

3.33.3: 1. 48; 2. 60; 3. 11; 4. 9; 5. 50; 6. 12; 7. 90; 8. 54; 9. 10; 10. 9; 11. 64; 12. 96; 13. 10; 14. 241. 48; 2. 60; 3. 11; 4. 9; 5. 50; 6. 12; 7. 90; 8. 54; 9. 10; 10. 9; 11. 64; 12. 96; 13. 10; 14. 24

3.43.4: 1. 2; 2. 9; 3. 2; 4. 2; 5. 8; 6. 4; 7. 7; 8. 7; 9. 4; 10. 4; 11. 1; 12. 9; 13. 2; 14. 0; 15. 1; 16. 3; 17. 01. 2; 2. 9; 3. 2; 4. 2; 5. 8; 6. 4; 7. 7; 8. 7; 9. 4; 10. 4; 11. 1; 12. 9; 13. 2; 14. 0; 15. 1; 16. 3; 17. 0

‹ DayNgày 9DayNgày 11 ›
DayNgày 11
Number theory, day 3 of 3Lý thuyết số, ngày 3/3

Sharing with leftovers and mixed practiceChia có dư và luyện tập tổng hợp

About 60 minutes.Khoảng 60 phút. The mixed questions make the child work out which method fits. Any extra trick is mainly for the Heat Round.Các câu trộn lẫn khiến con phải tự nhận ra cần dùng cách nào. Mẹo thêm chủ yếu dành cho Vòng quốc gia.

3.6 Sharing with leftoversChia có dư

Chia có dưSharing with leftovers

Two ways of sharing: compare the leftovers. Students = change in leftovers ÷ change for each student.
The biggest group: to find the smallest possible size of the biggest group, share as evenly as you can. Any leftover pushes the biggest group up by 1.Hai cách chia: so sánh phần dư. Số học sinh = phần dư thay đổi : phần thay đổi của mỗi học sinh.
Nhóm đông nhất: để nhóm đông nhất có ít người nhất, hãy chia đều hết mức. Nếu còn dư, nhóm đông nhất tăng thêm 1.

Why it worksVì sao đúng

If everyone gives back 1 pencil, the pile grows by 1 for each student. So when the pile grows by 12, there must be 12 students.Nếu mỗi bạn trả lại 1 cái bút, số bút tăng thêm 1 cho mỗi bạn. Vậy khi số bút tăng 12 cái, chắc chắn có 12 bạn.

Sharing evenly keeps the biggest group as small as possible, because moving anyone onto a group that already has the most would only make it bigger.Chia đều giữ cho nhóm đông nhất ít người nhất, vì chuyển thêm người vào nhóm đang đông nhất chỉ làm nhóm đó đông hơn.

Worked exampleVí dụ
  1. Giving 8 pencils each leaves 3. Giving 7 each leaves 15.Chia mỗi bạn 8 cái bút thì dư 3. Chia mỗi bạn 7 cái thì dư 15.
  2. Each student gets 1 fewer and the leftovers grow by 15 − 3 = 12, so there are 12 students.Mỗi bạn nhận ít đi 1 cái và phần dư tăng 15 − 3 = 12, nên có 12 bạn.
  3. Pencils: 12 × 8 + 3 = 99.Số bút: 12 × 8 + 3 = 99.
  4. 50 students in 4 classes: 50 ÷ 4 = 12 remainder 2, so the biggest class has at least 13.50 học sinh chia vào 4 lớp: 50 : 4 = 12 dư 2, nên lớp đông nhất có ít nhất 13 học sinh.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Giving 8 pencils each leaves 2. Giving 6 each leaves 18. How many pencils are there?Chia mỗi bạn 8 cái bút thì dư 2. Chia mỗi bạn 6 cái thì dư 18. Có bao nhiêu cái bút?
    Show answerXem đáp án6666. 18 − 2 = 16, and each student changes by 2: 8 students. 8 × 8 + 2.18 − 2 = 16, mỗi bạn thay đổi 2: 8 bạn. 8 × 8 + 2.
  2. Giving 5 pencils each leaves 3. Giving 4 each leaves 10. How many pencils are there?Chia mỗi bạn 5 cái bút thì dư 3. Chia mỗi bạn 4 cái thì dư 10. Có bao nhiêu cái bút?
    Show answerXem đáp án3838. 10 − 3 = 7, and each student changes by 1: 7 students. 7 × 5 + 3.10 − 3 = 7, mỗi bạn thay đổi 1: 7 bạn. 7 × 5 + 3.
  3. Giving 9 sweets each leaves 1. Giving 7 each leaves 15. How many children are there?Chia mỗi bạn 9 cái kẹo thì dư 1. Chia mỗi bạn 7 cái thì dư 15. Có bao nhiêu bạn?
    Show answerXem đáp án77. (15 − 1) ÷ 2.(15 − 1) : 2.
  4. 50 students are in 4 classes. No class has more students than class A. What is the smallest possible number in class A?50 học sinh chia vào 4 lớp. Không lớp nào đông hơn lớp A. Lớp A có ít nhất bao nhiêu học sinh?
    Show answerXem đáp án1313. 50 ÷ 4 = 12 remainder 2.50 : 4 = 12 dư 2.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. Giving 6 pencils each leaves 4. Giving 5 each leaves 13. How many pencils are there?Chia mỗi bạn 6 cái bút thì dư 4. Chia mỗi bạn 5 cái thì dư 13. Có bao nhiêu cái bút?
    Show answerXem đáp án5858. 13 − 4 = 9, and each student changes by 1: 9 students. 9 × 6 + 4.13 − 4 = 9, mỗi bạn thay đổi 1: 9 bạn. 9 × 6 + 4.
  2. Giving 10 sweets each leaves 5. Giving 8 each leaves 21. How many children are there?Chia mỗi bạn 10 cái kẹo thì dư 5. Chia mỗi bạn 8 cái thì dư 21. Có bao nhiêu bạn?
    Show answerXem đáp án88. (21 − 5) ÷ 2.(21 − 5) : 2.
  3. 100 students are in 7 classes. No class has more students than class A. What is the smallest possible number in class A?100 học sinh chia vào 7 lớp. Không lớp nào đông hơn lớp A. Lớp A có ít nhất bao nhiêu học sinh?
    Show answerXem đáp án1515. 100 ÷ 7 = 14 remainder 2.100 : 7 = 14 dư 2.
  4. 64 students are in 8 classes. No class has more students than class A. What is the smallest possible number in class A?64 học sinh chia vào 8 lớp. Không lớp nào đông hơn lớp A. Lớp A có ít nhất bao nhiêu học sinh?
    Show answerXem đáp án88. 64 ÷ 8 = 8 remainder 0.64 : 8 = 8 dư 0.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. Giving 7 sweets each is short by 4. Giving 5 each leaves 8. How many sweets are there?Chia mỗi bạn 7 cái kẹo thì thiếu 4 cái. Chia mỗi bạn 5 cái thì dư 8 cái. Có bao nhiêu cái kẹo?
    Show answerXem đáp án3838. (4 + 8) ÷ 2 = 6 children. 6 × 5 + 8.(4 + 8) : 2 = 6 bạn. 6 × 5 + 8.
  2. A hall has benches. With 4 people on each bench, 6 people must stand. With 5 on each bench, every seat is full and nobody stands. How many people are there?Một hội trường có các ghế băng. Nếu mỗi ghế 4 người thì 6 người phải đứng. Nếu mỗi ghế 5 người thì vừa đủ chỗ. Có bao nhiêu người?
    Show answerXem đáp án3030. 6 extra people fill 6 benches by 1 each, so 6 benches. 6 × 5.6 người thêm ngồi vào 6 ghế, mỗi ghế 1 người, nên có 6 ghế. 6 × 5.

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 5 (p. 50, answers p. 142): Q15Quốc gia đề 5 (tr. 50, đáp án tr. 142): câu 15

Mixed exercisesBài tập tổng hợp
  1. 5A72 divides by 9. What is A?5A72 chia hết cho 9. A bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án44. Digit sum 14 + A must be 18.Tổng các chữ số 14 + A phải bằng 18.
  2. 8A4 divides by 6. What is the smallest A?8A4 chia hết cho 6. A nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án00. It is even already. Digit sum 12 + A must divide by 3.Số này đã chẵn. Tổng các chữ số 12 + A phải chia hết cho 3.
  3. How many factors does 60 have?60 có bao nhiêu ước?
    Show answerXem đáp án1212. 1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12, 6×10: six pairs.1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12, 6×10: sáu cặp.
  4. How many 3-digit numbers divide by 25?Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 25?
    Show answerXem đáp án3636. 100 to 975: (975 − 100) ÷ 25 + 1.Từ 100 đến 975: (975 − 100) : 25 + 1.
  5. a ⊗ b = a × b + 2 × b. Find 4 ⊗ 5.a ⊗ b = a × b + 2 × b. Tìm 4 ⊗ 5.
    Show answerXem đáp án3030. 20 + 10.20 + 10.
  6. a △ b = (a − b) × a. Find (7 △ 3) △ 20.a △ b = (a − b) × a. Tìm (7 △ 3) △ 20.
    Show answerXem đáp án224224. 7 △ 3 = 28, then 28 △ 20 = 8 × 28.7 △ 3 = 28, rồi 28 △ 20 = 8 × 28.
  7. A + B = 72 and A is 8 times B. Find A.A + B = 72 và A gấp 8 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án6464. 9 parts, 1 part is 8.9 phần, 1 phần bằng 8.
  8. A − B = 56 and A is 5 times B. Find A.A − B = 56 và A gấp 5 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án7070. 4 extra parts, 1 part is 14.4 phần hơn, 1 phần bằng 14.
  9. Last digit of 7 × 7 × … × 7 (22 sevens)Chữ số tận cùng của 7 × 7 × … × 7 (22 số 7)
    Show answerXem đáp án99. 22 ÷ 4 leaves 2.22 : 4 dư 2.
  10. Last digit of 14 × 24 × 34 × 44 × 54 × 64Chữ số tận cùng của 14 × 24 × 34 × 44 × 54 × 64
    Show answerXem đáp án66. Same as six 4s. An even count of 4s ends in 6.Giống như sáu số 4. Số chẵn lần số 4 có tận cùng là 6.
Extra trickMẹo thêm

3.5 Consecutive numbersCác số liên tiếp

Các số liên tiếpConsecutive numbers

Numbers that follow in order are balanced around their middle. Sum ÷ how many numbers = the middle value.Các số liền nhau cân bằng quanh số ở giữa. Tổng : số số hạng = giá trị ở giữa.

Why it worksVì sao đúng

Numbers in order balance around the middle. In 6, 7, 8, 9, 10, the 6 is 2 below 8 and the 10 is 2 above, so 6 + 10 = 8 + 8. In the same way, 7 + 9 = 8 + 8.Các số liền nhau cân bằng quanh số ở giữa. Trong 6, 7, 8, 9, 10, số 6 kém 8 là 2 và số 10 hơn 8 là 2, nên 6 + 10 = 8 + 8. Tương tự, 7 + 9 = 8 + 8.

So the total is the same as if every number were the middle one. That is why total ÷ how many gives the middle.Vậy tổng bằng như khi mọi số đều là số ở giữa. Đó là lý do tổng : số số hạng cho số ở giữa.

Worked exampleVí dụ
  1. 5 consecutive numbers add up to 40. The middle one is 40 ÷ 5 = 8.5 số liên tiếp có tổng là 40. Số ở giữa là 40 : 5 = 8.
  2. So they are 6, 7, 8, 9, 10, and the largest is 10.Vậy các số là 6, 7, 8, 9, 10, và số lớn nhất là 10.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 5 consecutive odd numbers add up to 45. What is the largest?5 số lẻ liên tiếp có tổng là 45. Số lớn nhất là số nào?
    Show answerXem đáp án1313. Middle is 9. The numbers are 5, 7, 9, 11, 13.Số ở giữa là 9. Các số là 5, 7, 9, 11, 13.
  2. 4 consecutive even numbers add up to 60. What is the largest?4 số chẵn liên tiếp có tổng là 60. Số lớn nhất là số nào?
    Show answerXem đáp án1818. The middle value is 15, so the numbers are 12, 14, 16, 18.Giá trị ở giữa là 15, nên các số là 12, 14, 16, 18.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. 5 consecutive numbers add up to 65. What is the largest?5 số liên tiếp có tổng là 65. Số lớn nhất là số nào?
    Show answerXem đáp án1515. The numbers are 11, 12, 13, 14, 15.Các số là 11, 12, 13, 14, 15.
  2. 3 consecutive numbers add up to 48. What is the smallest?3 số liên tiếp có tổng là 48. Số nhỏ nhất là số nào?
    Show answerXem đáp án1515. The numbers are 15, 16, 17.Các số là 15, 16, 17.
  3. 7 consecutive odd numbers add up to 77. What is the largest?7 số lẻ liên tiếp có tổng là 77. Số lớn nhất là số nào?
    Show answerXem đáp án1717. The numbers are 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.Các số là 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.
  4. 4 consecutive even numbers add up to 100. What is the smallest?4 số chẵn liên tiếp có tổng là 100. Số nhỏ nhất là số nào?
    Show answerXem đáp án2222. The numbers are 22, 24, 26, 28.Các số là 22, 24, 26, 28.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. 10 consecutive numbers add up to 155. What is the smallest?10 số liên tiếp có tổng là 155. Số nhỏ nhất là số nào?
    Show answerXem đáp án1111. The middle value is 15.5, so 11 to 20.Giá trị ở giữa là 15,5, nên từ 11 đến 20.
  2. 6 consecutive even numbers add up to 90. What is the largest?6 số chẵn liên tiếp có tổng là 90. Số lớn nhất là số nào?
    Show answerXem đáp án2020. The middle value is 15, so 10 to 20.Giá trị ở giữa là 15, nên từ 10 đến 20.

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q15  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q13Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 15  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 13

Timed book set: 8 questions in 20 minutesBài trong sách, tính giờ: 8 câu trong 20 phút

Questions:Các câu: Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q11, Q23  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q11, Q14, Q15  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q11, Q12, Q13Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 11, câu 23  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 11, câu 14, câu 15  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 11, câu 12, câu 13

Harder, optional: 5 questions in 18 minutesKhó hơn, không bắt buộc: 5 câu trong 18 phút

Questions:Các câu: Heat 4 (p. 47, answers p. 141): Q11, Q12, Q13, Q14, Q15Quốc gia đề 4 (tr. 47, đáp án tr. 141): câu 11, câu 12, câu 13, câu 14, câu 15

AnswersĐáp án

3.63.6: 1. 66; 2. 38; 3. 7; 4. 13; 5. 58; 6. 8; 7. 15; 8. 8; 9. 38; 10. 301. 66; 2. 38; 3. 7; 4. 13; 5. 58; 6. 8; 7. 15; 8. 8; 9. 38; 10. 30

MixedTổng hợp: 1. 4; 2. 0; 3. 12; 4. 36; 5. 30; 6. 224; 7. 64; 8. 70; 9. 9; 10. 61. 4; 2. 0; 3. 12; 4. 36; 5. 30; 6. 224; 7. 64; 8. 70; 9. 9; 10. 6

3.53.5: 1. 13; 2. 18; 3. 15; 4. 15; 5. 17; 6. 22; 7. 11; 8. 201. 13; 2. 18; 3. 15; 4. 15; 5. 17; 6. 22; 7. 11; 8. 20

‹ DayNgày 10DayNgày 12 ›
DayNgày 12
Geometry, day 1 of 3Hình học, ngày 1/3

Counting rectangles and Solids and cube stacksĐếm hình chữ nhật và Hình khối và chồng hình lập phương

Use real blocks or dice for 4.2, because seeing it beats any explanation. Grid paper helps for 4.1 and 4.3. The book also has right-triangle questions (Heat 2 Q19, Heat 7 Q17) that rely on a rule normally taught much later. Treat those as optional.Hãy dùng khối gỗ hoặc xúc xắc thật cho bài 4.2, vì tận mắt nhìn thấy dễ hiểu hơn mọi lời giải thích. Giấy ô li rất có ích cho bài 4.1 và 4.3. Sách cũng có các câu về tam giác vuông (Quốc gia đề 2 câu 19, Quốc gia đề 7 câu 17) cần một quy tắc thường học sau này rất lâu. Hãy xem các câu đó là không bắt buộc.

English words for this topicTừ tiếng Anh của chủ đề này
  • rectangle: hình chữ nhật
  • square: hình vuông
  • perimeter: chu vi
  • area: diện tích
  • pyramid: hình chóp
  • cube: hình lập phương
  • face: mặt
  • edge: cạnh
  • at least: ít nhất

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

4.1 Counting rectanglesĐếm hình chữ nhật

Đếm hình chữ nhật trong lưới ô vuôngCounting rectangles

All rectangles in a grid: (1 + 2 + … + rows) × (1 + 2 + … + columns).
Rectangles containing a marked cell: count your choices for the top, bottom, left and right edges, then multiply.Tất cả hình chữ nhật trong lưới: (1 + 2 + … + số hàng) × (1 + 2 + … + số cột).
Hình chữ nhật chứa một ô đánh dấu: đếm số cách chọn cạnh trên, cạnh dưới, cạnh trái và cạnh phải, rồi nhân lại.

Why it worksVì sao đúng
1 wide: 32 wide: 23 wide: 1
Rộng 1 ô: 3Rộng 2 ô: 2Rộng 3 ô: 1

Across: look at one row with 3 columns, as in the picture. A shape 1 wide can sit in 3 places, 2 wide in 2 places, and 3 wide in only 1 place. That is 3 + 2 + 1 choices. With 4 columns it would be 4 + 3 + 2 + 1. That is where 1 + 2 + … + columns comes from.Theo chiều ngang: xét một hàng có 3 cột, như trong hình. Hình rộng 1 ô đặt được ở 3 vị trí, rộng 2 ô ở 2 vị trí, và rộng 3 ô chỉ ở 1 vị trí. Vậy có 3 + 2 + 1 cách. Với 4 cột sẽ là 4 + 3 + 2 + 1. Đó là nguồn gốc của 1 + 2 + … + số cột.

Up and down: the same thinking gives 1 + 2 + … + rows choices for the height and position going up and down.Theo chiều dọc: cùng cách nghĩ đó cho 1 + 2 + … + số hàng cách chọn chiều cao và vị trí.

Why multiply: every rectangle is one across choice and one up-and-down choice, and any two can go together. In the grid above, with 4 columns and 3 rows, each of the 10 across choices works with each of the 6 up-and-down choices, so there are 10 × 6 = 60.Vì sao nhân: mỗi hình chữ nhật là một cách chọn ngang và một cách chọn dọc, và hai cách bất kỳ đều ghép được. Trong lưới ở trên, với 4 cột và 3 hàng, mỗi cách trong 10 cách ngang đều đi được với mỗi cách trong 6 cách dọc, nên có 10 × 6 = 60.

Containing a marked cell: a rectangle is set by its 4 edges. The top edge must be at or above the cell, so it has as many choices as the cell's row number. The other three edges work the same way, and any choices can go together, so you multiply.Chứa ô đánh dấu: hình chữ nhật được xác định bởi 4 cạnh. Cạnh trên phải ở trên hoặc sát trên ô đó, nên số cách bằng số thứ tự hàng của ô. Ba cạnh còn lại cũng tương tự, và các cách chọn ghép được với nhau, nên ta nhân.

Worked exampleVí dụ
  1. The grid above has 3 rows and 4 columns. All rectangles: (1 + 2 + 3) × (1 + 2 + 3 + 4) = 6 × 10 = 60.Lưới ở trên có 3 hàng và 4 cột. Tất cả hình chữ nhật: (1 + 2 + 3) × (1 + 2 + 3 + 4) = 6 × 10 = 60.
  2. Containing the marked cell: top edge 2 choices, bottom 2, left 2, right 3.Chứa ô đánh dấu: cạnh trên 2 cách, cạnh dưới 2, cạnh trái 2, cạnh phải 3.
  3. 2 × 2 × 2 × 3 = 24.2 × 2 × 2 × 3 = 24.
  4. For an L-shape, split it into two overlapping rectangles: A + B − overlap.Với hình chữ L, hãy tách thành hai hình chữ nhật chồng lên nhau: A + B − phần chung.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. How many rectangles are in a grid with 2 rows and 3 columns?Lưới có 2 hàng và 3 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án1818. 3 × 6.3 × 6.
  2. How many rectangles are in a grid with 4 rows and 4 columns?Lưới có 4 hàng và 4 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án100100. 10 × 10.10 × 10.
  3. A grid has 3 rows and 5 columns. How many rectangles contain the cell in row 2, column 3?Lưới có 3 hàng và 5 cột. Có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô ở hàng 2, cột 3?
    Show answerXem đáp án3636. Top 2, bottom 2, left 3, right 3.Trên 2, dưới 2, trái 3, phải 3.
  4. A grid has 4 rows and 4 columns. How many rectangles contain the cell in row 1, column 2?Lưới có 4 hàng và 4 cột. Có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô ở hàng 1, cột 2?
    Show answerXem đáp án2424. Top 1, bottom 4, left 2, right 3.Trên 1, dưới 4, trái 2, phải 3.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. How many rectangles are in a grid with 1 row and 5 columns?Lưới có 1 hàng và 5 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án1515. 1 × 15.1 × 15.
  2. How many rectangles are in a grid with 2 rows and 4 columns?Lưới có 2 hàng và 4 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án3030. 3 × 10.3 × 10.
  3. How many rectangles are in a grid with 3 rows and 5 columns?Lưới có 3 hàng và 5 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án9090. 6 × 15.6 × 15.
  4. How many rectangles are in a grid with 5 rows and 5 columns?Lưới có 5 hàng và 5 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án225225. 15 × 15.15 × 15.
  5. A grid has 2 rows and 3 columns. How many rectangles contain the cell in row 1, column 2?Lưới có 2 hàng và 3 cột. Có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô ở hàng 1, cột 2?
    Show answerXem đáp án88. Top 1, bottom 2, left 2, right 2.Trên 1, dưới 2, trái 2, phải 2.
  6. A grid has 3 rows and 3 columns. How many rectangles contain the cell in row 2, column 2?Lưới có 3 hàng và 3 cột. Có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô ở hàng 2, cột 2?
    Show answerXem đáp án1616. Top 2, bottom 2, left 2, right 2.Trên 2, dưới 2, trái 2, phải 2.
  7. A grid has 4 rows and 3 columns. How many rectangles contain the cell in row 2, column 1?Lưới có 4 hàng và 3 cột. Có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô ở hàng 2, cột 1?
    Show answerXem đáp án1818. Top 2, bottom 3, left 1, right 3.Trên 2, dưới 3, trái 1, phải 3.
  8. A grid has 5 rows and 5 columns. How many rectangles contain the cell in row 3, column 3?Lưới có 5 hàng và 5 cột. Có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô ở hàng 3, cột 3?
    Show answerXem đáp án8181. Top 3, bottom 3, left 3, right 3.Trên 3, dưới 3, trái 3, phải 3.
Challenge (3)Thử thách (3)
  1. How many rectangles in this grid contain the shaded cell?Trong lưới này có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô tô màu?
    Show answerXem đáp án4848. Top 2, bottom 3, left 4, right 2.Trên 2, dưới 3, trái 4, phải 2.
  2. How many rectangles in this grid contain the shaded cell?Trong lưới này có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô tô màu?
    Show answerXem đáp án3636. Top 3, bottom 3, left 1, right 4.Trên 3, dưới 3, trái 1, phải 4.
  3. How many squares of any size are in a grid with 4 rows and 4 columns?Lưới có 4 hàng và 4 cột có bao nhiêu hình vuông mọi kích thước?
    Show answerXem đáp án3030. 16 + 9 + 4 + 1.16 + 9 + 4 + 1.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q16  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q16  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q16Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 16  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 16  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 16

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q16, Q17Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 16, câu 17

4.2 Solids and cube stacksHình khối và chồng hình lập phương

Đếm hình 2D hoặc 3DSolids and cube stacks

Cube: 6 faces, 12 edges, 8 corners.
Pyramid with an n-sided base: n + 1 faces and 2 × n edges.
Viewing a stack from one side: number all the faces pointing that way, then cross out any face exactly hidden behind another. In each line of cubes running away from you, only the tallest stack counts.Hình lập phương: 6 mặt, 12 cạnh, 8 đỉnh.
Hình chóp có đáy n cạnh: n + 1 mặt và 2 × n cạnh.
Nhìn một chồng hình từ một phía: đánh số mọi mặt hướng về phía đó, rồi gạch bỏ mặt nào bị một mặt khác che khuất hoàn toàn. Trong mỗi hàng hình lập phương chạy ra xa em, chỉ chồng cao nhất được tính.

Why it worksVì sao đúng

Pyramid: a base with n sides has n edges around it. Each of its n corners also has one edge going up to the tip, so that is n + n = 2 × n edges. Each base side has one triangle standing on it, and the base is one more face, so there are n + 1 faces.Hình chóp: đáy n cạnh có n cạnh xung quanh. Mỗi đỉnh trong n đỉnh của đáy có thêm một cạnh đi lên chóp, vậy có n + n = 2 × n cạnh. Trên mỗi cạnh đáy có một mặt tam giác, thêm mặt đáy nữa, nên có n + 1 mặt.

Cube: 4 edges on top, 4 on the bottom and 4 going up the sides make 12.Hình lập phương: 4 cạnh ở trên, 4 cạnh ở dưới và 4 cạnh đứng là 12 cạnh.

Stacks: the cubes are all the same size, so a cube directly behind another one is exactly covered. In a line of stacks, the tallest stack sets how many squares you can see.Các chồng: các hình lập phương bằng nhau, nên hình nằm ngay sau hình khác bị che hoàn toàn. Trên một hàng, chồng cao nhất quyết định số hình vuông nhìn thấy.

Worked exampleVí dụ
  1. A pyramid has 15 faces. One is the base, so the base has 14 sides.Một hình chóp có 15 mặt. Một mặt là đáy, nên đáy có 14 cạnh.
  2. Edges: 2 × 14 = 28.Số cạnh: 2 × 14 = 28.
  3. Stacks in one line, from front to back, are 1, 3 and 2 cubes tall. From the front you see only 3 squares.Các chồng trên một hàng, từ trước ra sau, cao 1, 3 và 2 hình lập phương. Nhìn từ phía trước em chỉ thấy 3 hình vuông.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. How many edges does a pyramid with a 6-sided base have?Hình chóp có đáy 6 cạnh có bao nhiêu cạnh?
    Show answerXem đáp án1212. 2 × 6.2 × 6.
  2. A pyramid has 11 faces. How many edges?Một hình chóp có 11 mặt. Hình chóp có bao nhiêu cạnh?
    Show answerXem đáp án2020. Base has 10 sides. 2 × 10.Đáy có 10 cạnh. 2 × 10.
  3. A pyramid has 20 edges. How many faces?Một hình chóp có 20 cạnh. Hình chóp có bao nhiêu mặt?
    Show answerXem đáp án1111. Base has 10 sides. 10 + 1.Đáy có 10 cạnh. 10 + 1.
  4. Three stacks stand side by side, 3, 1 and 2 cubes tall. How many squares do you see from the front?Ba chồng đặt cạnh nhau, cao 3, 1 và 2 hình lập phương. Nhìn từ phía trước em thấy bao nhiêu hình vuông?
    Show answerXem đáp án66. None hides another, so 3 + 1 + 2.Không chồng nào che chồng nào, nên 3 + 1 + 2.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. How many edges does a pyramid with a 4-sided base have?Hình chóp có đáy 4 cạnh có bao nhiêu cạnh?
    Show answerXem đáp án88. 2 × 4.2 × 4.
  2. How many edges does a pyramid with a 9-sided base have?Hình chóp có đáy 9 cạnh có bao nhiêu cạnh?
    Show answerXem đáp án1818. 2 × 9.2 × 9.
  3. A pyramid has 7 faces. How many edges?Một hình chóp có 7 mặt. Hình chóp có bao nhiêu cạnh?
    Show answerXem đáp án1212. Base has 6 sides. 2 × 6.Đáy có 6 cạnh. 2 × 6.
  4. A pyramid has 30 edges. How many faces?Một hình chóp có 30 cạnh. Hình chóp có bao nhiêu mặt?
    Show answerXem đáp án1616. Base has 15 sides. 15 + 1.Đáy có 15 cạnh. 15 + 1.
  5. A cube has side 3 cm. What is the total length of all its edges in cm?Một hình lập phương có cạnh 3 cm. Tổng độ dài tất cả các cạnh là bao nhiêu cm?
    Show answerXem đáp án3636. 12 edges × 3.12 cạnh × 3.
  6. Three separate cubes are on a table. How many edges do they have altogether?Trên bàn có ba hình lập phương rời nhau. Chúng có tất cả bao nhiêu cạnh?
    Show answerXem đáp án3636. 3 × 12.3 × 12.
  7. Stacks in one line, from front to back, are 1, 2 and 5 cubes tall. How many squares do you see from the front?Các chồng trên một hàng, từ trước ra sau, cao 1, 2 và 5 hình lập phương. Nhìn từ phía trước em thấy bao nhiêu hình vuông?
    Show answerXem đáp án55. Only the tallest stack in the line counts.Trên một hàng chỉ chồng cao nhất được tính.
  8. Four stacks stand side by side, 2, 4, 1 and 3 cubes tall. How many squares do you see from the front?Bốn chồng đặt cạnh nhau, cao 2, 4, 1 và 3 hình lập phương. Nhìn từ phía trước em thấy bao nhiêu hình vuông?
    Show answerXem đáp án1010. None hides another, so add them.Không chồng nào che chồng nào, nên cộng lại.
Challenge (4)Thử thách (4)
  1. How many squares can you see from the front?Nhìn từ phía trước em thấy bao nhiêu hình vuông?
    Show answerXem đáp án55. In each column, only the tallest stack counts.Trong mỗi cột, chỉ chồng cao nhất được tính.
  2. How many squares can you see from the front?Nhìn từ phía trước em thấy bao nhiêu hình vuông?
    Show answerXem đáp án77. In each column, only the tallest stack counts.Trong mỗi cột, chỉ chồng cao nhất được tính.
  3. How many squares can you see from the right?Nhìn từ bên phải em thấy bao nhiêu hình vuông?
    Show answerXem đáp án55. In each row going across, only the tallest stack counts.Trong mỗi hàng ngang, chỉ chồng cao nhất được tính.
  4. How many squares can you see from the right?Nhìn từ bên phải em thấy bao nhiêu hình vuông?
    Show answerXem đáp án55. In each row going across, only the tallest stack counts.Trong mỗi hàng ngang, chỉ chồng cao nhất được tính.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q19  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q19  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q19  ·  Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q19Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 19  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 19  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 19  ·  Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 19

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q19, Q20Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 19, câu 20

AnswersĐáp án

4.14.1: 1. 18; 2. 100; 3. 36; 4. 24; 5. 15; 6. 30; 7. 90; 8. 225; 9. 8; 10. 16; 11. 18; 12. 81; 13. 48; 14. 36; 15. 301. 18; 2. 100; 3. 36; 4. 24; 5. 15; 6. 30; 7. 90; 8. 225; 9. 8; 10. 16; 11. 18; 12. 81; 13. 48; 14. 36; 15. 30

4.24.2: 1. 12; 2. 20; 3. 11; 4. 6; 5. 8; 6. 18; 7. 12; 8. 16; 9. 36; 10. 36; 11. 5; 12. 10; 13. 5; 14. 7; 15. 5; 16. 51. 12; 2. 20; 3. 11; 4. 6; 5. 8; 6. 18; 7. 12; 8. 16; 9. 36; 10. 36; 11. 5; 12. 10; 13. 5; 14. 7; 15. 5; 16. 5

‹ DayNgày 11DayNgày 13 ›
DayNgày 13
Geometry, day 2 of 3Hình học, ngày 2/3

Perimeter and area and Shapes made of rectangles and Biggest and smallestChu vi và diện tích và Hình ghép từ hình chữ nhật và Lớn nhất và nhỏ nhất

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

Warm-upKhởi động
  1. How many rectangles are in a grid with 2 rows and 5 columns?Lưới có 2 hàng và 5 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án4545. 3 × 15.3 × 15.
  2. A pyramid has 8 faces. How many edges?Một hình chóp có 8 mặt. Hình chóp có bao nhiêu cạnh?
    Show answerXem đáp án1414. Base has 7 sides. 2 × 7.Đáy có 7 cạnh. 2 × 7.

4.3 Perimeter and areaChu vi và diện tích

Chu vi và diện tíchPerimeter and area

Square: side = perimeter ÷ 4, area = side × side. Rectangle: half the perimeter = length + width.
Grid pictures: count whole squares. A triangle is half of the rectangle around it, so area = base × height ÷ 2.Hình vuông: cạnh = chu vi : 4, diện tích = cạnh × cạnh. Hình chữ nhật: nửa chu vi = chiều dài + chiều rộng.
Hình trên giấy ô li: đếm các ô đủ. Hình tam giác bằng một nửa hình chữ nhật bao quanh nó, nên diện tích = đáy × chiều cao : 2.

Why it worksVì sao đúng

Square: 4 equal sides make the perimeter, so divide by 4 to get one side.Hình vuông: 4 cạnh bằng nhau tạo nên chu vi, nên chia cho 4 được một cạnh.

Rectangle: walking around it you pass length, width, length, width. Half of the walk is exactly one length and one width.Hình chữ nhật: đi vòng quanh hình, em qua dài, rộng, dài, rộng. Nửa vòng đúng bằng một chiều dài và một chiều rộng.

Area: a 3 by 5 rectangle is 3 rows of 5 squares, so you multiply.Diện tích: hình chữ nhật 3 nhân 5 là 3 hàng, mỗi hàng 5 ô vuông, nên ta nhân.

Triangle: draw a line straight down from the top to the base. It makes two smaller triangles, and each one is exactly half of its own part of the surrounding rectangle. So the whole triangle is half the rectangle: base × height ÷ 2.Hình tam giác: kẻ một đường thẳng từ đỉnh xuống đáy. Đường này tạo ra hai tam giác nhỏ, mỗi tam giác đúng bằng một nửa phần hình chữ nhật của nó. Vậy cả tam giác bằng nửa hình chữ nhật: đáy × chiều cao : 2.

Cutting a square: 9 small squares fit as 3 rows of 3, because 3 × 3 = 9. So each big side is split into 3 small sides.Cắt hình vuông: 9 hình vuông nhỏ xếp thành 3 hàng, mỗi hàng 3 hình, vì 3 × 3 = 9. Vậy mỗi cạnh lớn được chia thành 3 cạnh nhỏ.

Worked exampleVí dụ
  1. A square with perimeter 36 is cut into 9 equal small squares. How long is the perimeter of each?Một hình vuông có chu vi 36 được cắt thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau. Chu vi mỗi hình nhỏ là bao nhiêu?
  2. Big side = 9. There are 3 small squares along each side, so small side = 3.Cạnh hình lớn = 9. Mỗi cạnh có 3 hình vuông nhỏ, nên cạnh nhỏ = 3.
  3. Small perimeter = 3 × 4 = 12.Chu vi hình nhỏ = 3 × 4 = 12.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 16 small squares with side 3 cm form a big square. What is its perimeter in cm?16 hình vuông nhỏ cạnh 3 cm ghép thành một hình vuông lớn. Chu vi hình lớn là bao nhiêu cm?
    Show answerXem đáp án4848. 4 along each side, so side 12. 12 × 4.Mỗi cạnh có 4 hình nhỏ, nên cạnh bằng 12. 12 × 4.
  2. A square has perimeter 20. What is its area?Một hình vuông có chu vi 20. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án2525. Side 5.Cạnh bằng 5.
  3. A rectangle has area 45. Its length is 5 times its width. What is its perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 45. Chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Chu vi là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3636. Width 3, length 15. (3 + 15) × 2.Rộng 3, dài 15. (3 + 15) × 2.
  4. A rectangle has perimeter 30. Its length is twice its width. What is its area?Một hình chữ nhật có chu vi 30. Chiều dài gấp đôi chiều rộng. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án5050. Half perimeter 15 is 3 widths. Width 5, length 10.Nửa chu vi 15 bằng 3 lần chiều rộng. Rộng 5, dài 10.
  5. A triangle on grid paper has base 6 and height 4. What is its area?Một hình tam giác trên giấy ô li có đáy 6 và chiều cao 4. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án1212. 6 × 4 ÷ 2.6 × 4 : 2.
More practice (10)Luyện thêm (10)
  1. A square has perimeter 44. What is its side?Một hình vuông có chu vi 44. Cạnh bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án1111. 44 ÷ 4.44 : 4.
  2. A square has perimeter 28. What is its area?Một hình vuông có chu vi 28. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án4949. Side 7.Cạnh bằng 7.
  3. A rectangle is 9 cm long and has perimeter 30 cm. What is its width in cm?Một hình chữ nhật dài 9 cm và có chu vi 30 cm. Chiều rộng là bao nhiêu cm?
    Show answerXem đáp án66. Half perimeter 15 − 9.Nửa chu vi 15 − 9.
  4. A rectangle is 12 cm long and 5 cm wide. What is its area in cm²?Một hình chữ nhật dài 12 cm và rộng 5 cm. Diện tích là bao nhiêu cm²?
    Show answerXem đáp án6060. 12 × 5.12 × 5.
  5. 9 small squares with side 4 cm form a big square. What is its perimeter in cm?9 hình vuông nhỏ cạnh 4 cm ghép thành một hình vuông lớn. Chu vi hình lớn là bao nhiêu cm?
    Show answerXem đáp án4848. 3 along each side, so side 12. 12 × 4.Mỗi cạnh có 3 hình nhỏ, nên cạnh bằng 12. 12 × 4.
  6. A square with perimeter 60 is cut into 25 equal small squares. What is the perimeter of each?Một hình vuông có chu vi 60 được cắt thành 25 hình vuông nhỏ bằng nhau. Chu vi mỗi hình nhỏ là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án1212. Big side 15, small side 3.Cạnh lớn 15, cạnh nhỏ 3.
  7. A rectangle has area 48. Its length is 3 times its width. What is its perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 48. Chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Chu vi là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3232. Width 4, length 12. (4 + 12) × 2.Rộng 4, dài 12. (4 + 12) × 2.
  8. A rectangle has perimeter 40. Its length is 3 times its width. What is its area?Một hình chữ nhật có chu vi 40. Chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án7575. Half perimeter 20 is 4 widths. Width 5, length 15.Nửa chu vi 20 bằng 4 lần chiều rộng. Rộng 5, dài 15.
  9. A triangle on grid paper has base 8 and height 5. What is its area?Một hình tam giác trên giấy ô li có đáy 8 và chiều cao 5. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án2020. 8 × 5 ÷ 2.8 × 5 : 2.
  10. A square has side 6 and a triangle inside it has base 6 and height 6. What area of the square is outside the triangle?Một hình vuông cạnh 6 có một hình tam giác bên trong với đáy 6 và chiều cao 6. Phần diện tích hình vuông nằm ngoài tam giác là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án1818. 36 − 18.36 − 18.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A square garden has side 10 m. A path 1 m wide runs around the outside. What is the area of the path in m²?Một khu vườn hình vuông cạnh 10 m. Một lối đi rộng 1 m chạy quanh bên ngoài. Diện tích lối đi là bao nhiêu m²?
    Show answerXem đáp án4444. The outer square has side 12. 144 − 100.Hình vuông ngoài có cạnh 12. 144 − 100.
  2. A rectangle has perimeter 36. A square has the same perimeter. What is the area of the square?Một hình chữ nhật có chu vi 36. Một hình vuông có cùng chu vi. Diện tích hình vuông là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án8181. Side 9.Cạnh bằng 9.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q17, Q20  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q17  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q17Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 17, câu 20  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 17  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 17

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q16, Q17Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 16, câu 17

4.8 Shapes made of rectanglesHình ghép từ hình chữ nhật

Hình ghépShapes made of rectangles

Area: split the shape, or take the big rectangle and subtract the missing part.
Perimeter: a corner cut from a rectangle does not change the perimeter. Push the inner edges back out and they rebuild the same rectangle.Diện tích: tách hình ra, hoặc lấy hình chữ nhật lớn trừ phần bị thiếu.
Chu vi: cắt một góc của hình chữ nhật không làm đổi chu vi. Đẩy các cạnh bên trong ra ngoài, chúng tạo lại đúng hình chữ nhật đó.

10832
Why it worksVì sao đúng

Area measures the inside, so taking a piece away really does reduce it.Diện tích đo phần bên trong, nên lấy đi một mảnh thì diện tích giảm thật.

Perimeter measures the outline. When a corner is cut, the two new edges are exactly as long as the two pieces of edge that were removed, so the walk around stays the same length.Chu vi đo đường viền. Khi cắt một góc, hai cạnh mới dài đúng bằng hai đoạn cạnh bị mất, nên đi vòng quanh vẫn dài như cũ.

Worked exampleVí dụ
  1. The shape above is 10 by 8 with a 3 by 2 corner removed.Hình ở trên là 10 nhân 8, bị cắt một góc 3 nhân 2.
  2. Area: 80 − 6 = 74.Diện tích: 80 − 6 = 74.
  3. Perimeter: same as the full rectangle, (10 + 8) × 2 = 36.Chu vi: bằng hình chữ nhật đầy đủ, (10 + 8) × 2 = 36.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Find the area of this shape.Tính diện tích của hình này.
    9955
    Show answerXem đáp án5656. 9 × 9 − 5 × 5.9 × 9 − 5 × 5.
  2. Find the area of this shape.Tính diện tích của hình này.
    12743
    Show answerXem đáp án7272. 12 × 7 − 4 × 3.12 × 7 − 4 × 3.
  3. Find the perimeter of this shape.Tính chu vi của hình này.
    12743
    Show answerXem đáp án3838. Same as the full rectangle: (12 + 7) × 2.Bằng hình chữ nhật đầy đủ: (12 + 7) × 2.
  4. The white hole is cut out. Find the shaded area.Phần trắng bị cắt bỏ. Tính diện tích phần tô màu.
    864 × 2
    Show answerXem đáp án4040. 8 × 6 − 4 × 2.8 × 6 − 4 × 2.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. The white hole is cut out. Find the shaded area.Phần trắng bị cắt bỏ. Tính diện tích phần tô màu.
    10104 × 4
    Show answerXem đáp án8484. 10 × 10 − 4 × 4.10 × 10 − 4 × 4.
  2. Find the perimeter of this shape.Tính chu vi của hình này.
    11862
    Show answerXem đáp án3838. Same as the full rectangle: (11 + 8) × 2.Bằng hình chữ nhật đầy đủ: (11 + 8) × 2.
  3. Four identical rectangles surround a small square to make a big square. The big side is 10 and the small side is 4. What is the area of each rectangle?Bốn hình chữ nhật bằng nhau bao quanh một hình vuông nhỏ tạo thành một hình vuông lớn. Cạnh lớn là 10 và cạnh nhỏ là 4. Diện tích mỗi hình chữ nhật là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án2121. (100 − 16) ÷ 4.(100 − 16) : 4.
  4. 5 squares with side 3 stand in a row. What is the perimeter of the whole shape?5 hình vuông cạnh 3 xếp thành một hàng. Chu vi của cả hình là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3636. A 15 by 3 rectangle. (15 + 3) × 2.Hình chữ nhật 15 nhân 3. (15 + 3) × 2.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A rectangle has perimeter 30. When its length grows by 2, its area grows by 12. What is the new area?Một hình chữ nhật có chu vi 30. Khi chiều dài tăng 2, diện tích tăng 12. Diện tích mới là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án6666. Width = 12 ÷ 2 = 6. Length = 15 − 6 = 9. New: 11 × 6.Chiều rộng = 12 : 2 = 6. Chiều dài = 15 − 6 = 9. Mới: 11 × 6.
  2. A square of perimeter 24 and a square of perimeter 16 share one side edge, with their bottoms level. What is the perimeter of the whole shape?Một hình vuông chu vi 24 và một hình vuông chu vi 16 ghép cạnh nhau, đáy thẳng hàng. Chu vi của cả hình là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3232. 24 + 16 − 2 × 4. The shared part is lost from both.24 + 16 − 2 × 4. Phần chung bị mất ở cả hai hình.

From the book:Trong sách: Prelim 7 (p. 32, answers p. 137): Q16, Q18, Q20Vòng loại đề 7 (tr. 32, đáp án tr. 137): câu 16, câu 18, câu 20

4.4 Biggest and smallestLớn nhất và nhỏ nhất

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtBiggest and smallest

Whole-number sides only.
Area given: list the factor pairs. Sides close together give the smallest perimeter, sides far apart give the largest.
Perimeter given: split half the perimeter into two numbers as equal as possible for the largest area.Chỉ xét cạnh là số tự nhiên.
Biết diện tích: liệt kê các cặp ước. Hai cạnh gần nhau cho chu vi nhỏ nhất, hai cạnh cách xa nhau cho chu vi lớn nhất.
Biết chu vi: tách nửa chu vi thành hai số gần bằng nhau nhất để có diện tích lớn nhất.

Why it worksVì sao đúng

Long, thin rectangles have lots of edge and little inside. Compact ones are the opposite.Hình chữ nhật dài và mảnh có nhiều cạnh viền mà ít phần bên trong. Hình gần vuông thì ngược lại.

Area 36: 1 × 36 has perimeter 74, 2 × 18 has 40, 3 × 12 has 30, 4 × 9 has 26 and 6 × 6 has 24. The closer the sides, the shorter the edge.Diện tích 36: 1 × 36 có chu vi 74, 2 × 18 có 40, 3 × 12 có 30, 4 × 9 có 26 và 6 × 6 có 24. Hai cạnh càng gần nhau, viền càng ngắn.

Half perimeter 13: 1 × 12 = 12, 3 × 10 = 30, 5 × 8 = 40 and 6 × 7 = 42. With the same edge length, the closer the sides, the more space inside.Nửa chu vi 13: 1 × 12 = 12, 3 × 10 = 30, 5 × 8 = 40 và 6 × 7 = 42. Cùng độ dài viền, hai cạnh càng gần nhau thì bên trong càng rộng.

We have seen this in every list here without a full proof. A proof comes in later school years, but trying the pairs yourself always shows the answer.Ta đã thấy điều này trong mọi danh sách ở đây nhưng chưa chứng minh đầy đủ. Phần chứng minh sẽ học ở các lớp sau, còn tự thử các cặp số thì luôn tìm được đáp số.

Worked exampleVí dụ
  1. Area 36: 6 × 6 gives the smallest perimeter, 24. 1 × 36 gives the largest, 74.Diện tích 36: 6 × 6 cho chu vi nhỏ nhất, 24. 1 × 36 cho chu vi lớn nhất, 74.
  2. Perimeter 26: half is 13 = 6 + 7. Largest area = 6 × 7 = 42.Chu vi 26: nửa chu vi là 13 = 6 + 7. Diện tích lớn nhất = 6 × 7 = 42.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. A rectangle has area 48. What is the smallest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 48. Chu vi nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án2828. 6 × 8.6 × 8.
  2. A rectangle has area 18. What is the largest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 18. Chu vi lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3838. 1 × 18.1 × 18.
  3. A rectangle has perimeter 40. What is the largest area?Một hình chữ nhật có chu vi 40. Diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án100100. 10 × 10. A square is a rectangle.10 × 10. Hình vuông cũng là hình chữ nhật.
  4. A rectangle has perimeter 34. What is the largest area?Một hình chữ nhật có chu vi 34. Diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án7272. 8 × 9.8 × 9.
  5. 12 squares with side 2 are joined into one rectangle. What is the largest possible perimeter?12 hình vuông cạnh 2 được ghép thành một hình chữ nhật. Chu vi lớn nhất có thể là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án5252. One long row: 24 by 2. (24 + 2) × 2.Xếp thành một hàng dài: 24 và 2. (24 + 2) × 2.
More practice (10)Luyện thêm (10)
  1. A rectangle has area 64. What is the smallest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 64. Chu vi nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3232. 8 × 8.8 × 8.
  2. A rectangle has area 72. What is the smallest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 72. Chu vi nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3434. 8 × 9.8 × 9.
  3. A rectangle has area 90. What is the smallest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 90. Chu vi nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3838. 9 × 10.9 × 10.
  4. A rectangle has area 16. What is the largest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 16. Chu vi lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3434. 1 × 16.1 × 16.
  5. A rectangle has area 35. What is the largest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 35. Chu vi lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án7272. 1 × 35.1 × 35.
  6. A rectangle has perimeter 24. What is the largest area?Một hình chữ nhật có chu vi 24. Diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3636. 6 × 6.6 × 6.
  7. A rectangle has perimeter 38. What is the largest area?Một hình chữ nhật có chu vi 38. Diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án9090. 9 × 10.9 × 10.
  8. A rectangle has perimeter 62. What is the largest area?Một hình chữ nhật có chu vi 62. Diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án240240. 15 × 16.15 × 16.
  9. A rectangle has area 24 and whole-number sides. How many different perimeters are possible?Một hình chữ nhật có diện tích 24 và các cạnh là số tự nhiên. Có thể có bao nhiêu chu vi khác nhau?
    Show answerXem đáp án44. 1×24, 2×12, 3×8, 4×6.1×24, 2×12, 3×8, 4×6.
  10. 16 squares with side 3 are joined into one rectangle. What is the smallest possible perimeter?16 hình vuông cạnh 3 được ghép thành một hình chữ nhật. Chu vi nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án4848. 4 rows of 4 make a square of side 12.4 hàng, mỗi hàng 4 hình, tạo thành hình vuông cạnh 12.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A 40 cm string is bent into a rectangle with whole-number sides. What is the largest area?Một sợi dây dài 40 cm được uốn thành hình chữ nhật có cạnh là số tự nhiên. Diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án100100. 10 × 10.10 × 10.
  2. A farmer has 30 m of fence for a rectangle against a wall, so only 3 sides need fence. With whole-number sides, what is the largest area in m²?Bác nông dân có 30 m hàng rào để quây hình chữ nhật sát tường, nên chỉ cần rào 3 cạnh. Với cạnh là số tự nhiên, diện tích lớn nhất là bao nhiêu m²?
    Show answerXem đáp án112112. Try the widths. Width 7 or 8 gives the most.Thử các chiều rộng. Rộng 7 hoặc 8 cho kết quả lớn nhất.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q18  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q18  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q18Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 18  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 18  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 18

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q18  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q17, Q18Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 18  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 17, câu 18

AnswersĐáp án

Warm-upKhởi động: 1. 45; 2. 141. 45; 2. 14

4.34.3: 1. 48; 2. 25; 3. 36; 4. 50; 5. 12; 6. 11; 7. 49; 8. 6; 9. 60; 10. 48; 11. 12; 12. 32; 13. 75; 14. 20; 15. 18; 16. 44; 17. 811. 48; 2. 25; 3. 36; 4. 50; 5. 12; 6. 11; 7. 49; 8. 6; 9. 60; 10. 48; 11. 12; 12. 32; 13. 75; 14. 20; 15. 18; 16. 44; 17. 81

4.84.8: 1. 56; 2. 72; 3. 38; 4. 40; 5. 84; 6. 38; 7. 21; 8. 36; 9. 66; 10. 321. 56; 2. 72; 3. 38; 4. 40; 5. 84; 6. 38; 7. 21; 8. 36; 9. 66; 10. 32

4.44.4: 1. 28; 2. 38; 3. 100; 4. 72; 5. 52; 6. 32; 7. 34; 8. 38; 9. 34; 10. 72; 11. 36; 12. 90; 13. 240; 14. 4; 15. 48; 16. 100; 17. 1121. 28; 2. 38; 3. 100; 4. 72; 5. 52; 6. 32; 7. 34; 8. 38; 9. 34; 10. 72; 11. 36; 12. 90; 13. 240; 14. 4; 15. 48; 16. 100; 17. 112

‹ DayNgày 12DayNgày 14 ›
DayNgày 14

Rest dayNgày nghỉ

No maths today. Play, read or go outside. Rest helps learning stick.Hôm nay không học toán. Hãy chơi, đọc sách hoặc ra ngoài. Nghỉ ngơi giúp nhớ bài lâu hơn.
‹ DayNgày 13DayNgày 15 ›
DayNgày 15
Geometry, day 3 of 3Hình học, ngày 3/3

Surface area of cube stacks and Counting right-angled triangles and mixed practiceDiện tích bề mặt và Đếm hình tam giác vuông và luyện tập tổng hợp

About 60 minutes.Khoảng 60 phút. The mixed questions make the child work out which method fits. Any extra trick is mainly for the Heat Round.Các câu trộn lẫn khiến con phải tự nhận ra cần dùng cách nào. Mẹo thêm chủ yếu dành cho Vòng quốc gia.

4.6 Surface area of cube stacksDiện tích bề mặt

Diện tích bề mặtSurface area of cube stacks

To paint a whole shape, count squares from 3 directions: front, right and top. Then double: (front + right + top) × 2. This counts the bottom too, as the book does.
This shortcut works when the shape has no holes or dents.Để sơn toàn bộ một hình, đếm các hình vuông theo 3 hướng: trước, phải và trên. Rồi gấp đôi: (trước + phải + trên) × 2. Cách này tính cả mặt đáy, giống như trong sách.
Cách nhanh này đúng khi hình không có lỗ hoặc chỗ lõm.

Why it worksVì sao đúng

What you see from the front has the same outline as what you see from the back, so both show the same number of squares. The same is true for right and left, and for top and bottom. Those are 3 pairs, which is why you double.Nhìn từ trước và nhìn từ sau có cùng đường viền, nên cùng số hình vuông. Phải và trái cũng vậy, trên và dưới cũng vậy. Đó là 3 cặp, nên ta gấp đôi.

Worked exampleVí dụ
  1. The stack above: front 3 squares, right 3 squares, top 4 squares.Chồng ở trên: mặt trước 3 hình vuông, mặt phải 3 hình vuông, mặt trên 4 hình vuông.
  2. (3 + 3 + 4) × 2 = 20 squares to paint.(3 + 3 + 4) × 2 = 20 hình vuông cần sơn.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Every outside square of this stack is painted, including the bottom. How many squares are painted?Sơn mọi mặt hình vuông bên ngoài của chồng này, kể cả mặt đáy. Có bao nhiêu hình vuông được sơn?
    Show answerXem đáp án66. (1 + 1 + 1) × 2.(1 + 1 + 1) × 2.
  2. Every outside square of this stack is painted, including the bottom. How many squares are painted?Sơn mọi mặt hình vuông bên ngoài của chồng này, kể cả mặt đáy. Có bao nhiêu hình vuông được sơn?
    Show answerXem đáp án1010. (2 + 1 + 2) × 2.(2 + 1 + 2) × 2.
  3. Every outside square of this stack is painted, including the bottom. How many squares are painted?Sơn mọi mặt hình vuông bên ngoài của chồng này, kể cả mặt đáy. Có bao nhiêu hình vuông được sơn?
    Show answerXem đáp án1414. (3 + 1 + 3) × 2.(3 + 1 + 3) × 2.
  4. Every outside square of this stack is painted, including the bottom. How many squares are painted?Sơn mọi mặt hình vuông bên ngoài của chồng này, kể cả mặt đáy. Có bao nhiêu hình vuông được sơn?
    Show answerXem đáp án1616. (2 + 2 + 4) × 2.(2 + 2 + 4) × 2.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. Every outside square of this stack is painted, including the bottom. How many squares are painted?Sơn mọi mặt hình vuông bên ngoài của chồng này, kể cả mặt đáy. Có bao nhiêu hình vuông được sơn?
    Show answerXem đáp án2626. (4 + 3 + 6) × 2.(4 + 3 + 6) × 2.
  2. Every outside square of this stack is painted, including the bottom. How many squares are painted?Sơn mọi mặt hình vuông bên ngoài của chồng này, kể cả mặt đáy. Có bao nhiêu hình vuông được sơn?
    Show answerXem đáp án1616. (4 + 2 + 2) × 2.(4 + 2 + 2) × 2.
  3. Every outside square of this stack is painted, including the bottom. How many squares are painted?Sơn mọi mặt hình vuông bên ngoài của chồng này, kể cả mặt đáy. Có bao nhiêu hình vuông được sơn?
    Show answerXem đáp án2424. (6 + 3 + 3) × 2.(6 + 3 + 3) × 2.
  4. Every outside square of this stack is painted, including the bottom. How many squares are painted?Sơn mọi mặt hình vuông bên ngoài của chồng này, kể cả mặt đáy. Có bao nhiêu hình vuông được sơn?
    Show answerXem đáp án2222. (3 + 2 + 6) × 2.(3 + 2 + 6) × 2.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A box is 2 by 3 by 4 small cubes. How many outside squares does it have?Một hộp gồm 2 nhân 3 nhân 4 hình lập phương nhỏ. Hộp có bao nhiêu hình vuông bên ngoài?
    Show answerXem đáp án5252. (2 × 3 + 3 × 4 + 2 × 4) × 2.(2 × 3 + 3 × 4 + 2 × 4) × 2.
  2. A 3 by 3 by 3 cube is painted and cut into small cubes. How many small cubes have paint on exactly 3 faces?Một hình lập phương 3 nhân 3 nhân 3 được sơn rồi cắt thành các hình nhỏ. Có bao nhiêu hình nhỏ được sơn đúng 3 mặt?
    Show answerXem đáp án88. Only the 8 corners have 3 painted faces.Chỉ 8 hình ở các góc có 3 mặt được sơn.

From the book:Trong sách: Prelim 7 (p. 32, answers p. 137): Q17Vòng loại đề 7 (tr. 32, đáp án tr. 137): câu 17

4.7 Counting right-angled trianglesĐếm hình tam giác vuông

Đếm tam giác vuôngCounting right-angled triangles

A right-angled triangle has one square corner. Count by size: single pieces first, then shapes made of 2 pieces, then 3, and so on. Name each one by its corner letters so you do not count it twice.Hình tam giác vuông có một góc vuông. Đếm theo kích thước: các mảnh đơn trước, rồi hình ghép từ 2 mảnh, 3 mảnh, v.v. Gọi tên mỗi hình theo các đỉnh để không đếm hai lần.

ABCD
Why it worksVì sao đúng

Big triangles are hidden because they are made of smaller pieces. Going through the sizes in order means every triangle has one exact place in your list, so none is missed or repeated.Các tam giác lớn bị ẩn vì chúng ghép từ những mảnh nhỏ hơn. Đếm lần lượt theo kích thước thì mỗi tam giác có đúng một chỗ trong danh sách, nên không sót và không trùng.

Not every triangle counts. Check that one corner is square.Không phải tam giác nào cũng được tính. Hãy kiểm tra có một góc vuông.

Worked exampleVí dụ
  1. In the figure above, the single pieces are ABD and ACD.Trong hình ở trên, các mảnh đơn là ABD và ACD.
  2. Joining them makes ABC.Ghép chúng lại được ABC.
  3. Total: 3.Tổng cộng: 3.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    ABCD
    Show answerXem đáp án22. ABC, ACD.ABC, ACD.
  2. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    ABCDO
    Show answerXem đáp án88. ABC, ABD, ABO, ACD, ADO, BCD, BCO, CDO.ABC, ABD, ABO, ACD, ADO, BCD, BCO, CDO.
  3. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    ABCMN
    Show answerXem đáp án22. ABC, BMN.ABC, BMN.
  4. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    ABCMNP
    Show answerXem đáp án33. ABC, BMN, CNP.ABC, BMN, CNP.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    AMBCNDO
    Show answerXem đáp án44. ABC, ACD, AMO, CNO.ABC, ACD, AMO, CNO.
  2. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    ADECT
    Show answerXem đáp án33. ACT, ADT, AET.ACT, ADT, AET.
  3. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    AMBCND
    Show answerXem đáp án00. ..
  4. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    ABCDEF
    Show answerXem đáp án44. ADF, AEF, BCE, CEF.ADF, AEF, BCE, CEF.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    ABCDOEFGH
    Show answerXem đáp án1616. Count by size, small to big: 8 + 4 + 4.Đếm theo kích thước, từ nhỏ đến lớn: 8 + 4 + 4.
  2. How many right-angled triangles are in this figure?Trong hình này có bao nhiêu hình tam giác vuông?
    ABCDEFGHI
    Show answerXem đáp án55. ABC, BDH, BEI, CFI, CGH.ABC, BDH, BEI, CFI, CGH.

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 7 (p. 57, answers p. 144): Q20Quốc gia đề 7 (tr. 57, đáp án tr. 144): câu 20

Mixed exercisesBài tập tổng hợp
  1. How many rectangles are in a grid with 3 rows and 3 columns?Lưới có 3 hàng và 3 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án3636. 6 × 6.6 × 6.
  2. A grid has 4 rows and 5 columns. How many rectangles contain the cell in row 3, column 2?Lưới có 4 hàng và 5 cột. Có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô ở hàng 3, cột 2?
    Show answerXem đáp án4848. Top 3, bottom 2, left 2, right 4.Trên 3, dưới 2, trái 2, phải 4.
  3. A pyramid has 16 edges. How many faces?Một hình chóp có 16 cạnh. Hình chóp có bao nhiêu mặt?
    Show answerXem đáp án99. Base has 8 sides. 8 + 1.Đáy có 8 cạnh. 8 + 1.
  4. Stacks in one line, from front to back, are 2, 4 and 1 cubes tall. How many squares do you see from the front?Các chồng trên một hàng, từ trước ra sau, cao 2, 4 và 1 hình lập phương. Nhìn từ phía trước em thấy bao nhiêu hình vuông?
    Show answerXem đáp án44. Only the tallest stack in the line counts.Trên một hàng chỉ chồng cao nhất được tính.
  5. A square with perimeter 48 is cut into 16 equal small squares. What is the perimeter of each?Một hình vuông có chu vi 48 được cắt thành 16 hình vuông nhỏ bằng nhau. Chu vi mỗi hình nhỏ là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án1212. Big side 12, small side 3.Cạnh lớn 12, cạnh nhỏ 3.
  6. A rectangle has perimeter 36. Its length is twice its width. What is its area?Một hình chữ nhật có chu vi 36. Chiều dài gấp đôi chiều rộng. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án7272. Half perimeter 18 is 3 widths. Width 6, length 12.Nửa chu vi 18 bằng 3 lần chiều rộng. Rộng 6, dài 12.
  7. A rectangle has area 56. What is the smallest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 56. Chu vi nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3030. 7 × 8.7 × 8.
  8. A rectangle has area 28. What is the largest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 28. Chu vi lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án5858. 1 × 28.1 × 28.
  9. A rectangle has perimeter 50. What is the largest area?Một hình chữ nhật có chu vi 50. Diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án156156. 12 × 13.12 × 13.
  10. A triangle on grid paper has base 10 and height 3. What is its area?Một hình tam giác trên giấy ô li có đáy 10 và chiều cao 3. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án1515. 10 × 3 ÷ 2.10 × 3 : 2.
Extra trickMẹo thêm

4.5 Joining pointsNối các điểm

Đếm đoạn thẳngJoining points

With points where no three lie on one line, each point joins to all the others. Each line gets counted from both ends, so the total is points × (points − 1) ÷ 2.Với các điểm mà không có ba điểm nào thẳng hàng, mỗi điểm nối được với mọi điểm còn lại. Mỗi đoạn thẳng được đếm từ cả hai đầu, nên tổng là số điểm × (số điểm − 1) : 2.

Why it worksVì sao đúng

Each of 5 points can join to the 4 others, which looks like 5 × 4 = 20 lines. But the line from A to B is the same line as the one from B to A, so every line was counted twice. That is why we divide by 2.Mỗi điểm trong 5 điểm nối được với 4 điểm còn lại, trông như có 5 × 4 = 20 đoạn. Nhưng đoạn từ A đến B cũng chính là đoạn từ B đến A, nên mỗi đoạn được đếm hai lần. Đó là lý do chia cho 2.

Worked exampleVí dụ
  1. 5 points: 5 × 4 ÷ 2 = 10 lines.5 điểm: 5 × 4 : 2 = 10 đoạn thẳng.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. How many lines can join 6 points?6 điểm nối được bao nhiêu đoạn thẳng?
    Show answerXem đáp án1515. 6 × 5 ÷ 2.6 × 5 : 2.
  2. How many lines can join 10 points?10 điểm nối được bao nhiêu đoạn thẳng?
    Show answerXem đáp án4545. 10 × 9 ÷ 2.10 × 9 : 2.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. How many lines can join 4 points?4 điểm nối được bao nhiêu đoạn thẳng?
    Show answerXem đáp án66. 4 × 3 ÷ 2.4 × 3 : 2.
  2. How many lines can join 7 points?7 điểm nối được bao nhiêu đoạn thẳng?
    Show answerXem đáp án2121. 7 × 6 ÷ 2.7 × 6 : 2.
  3. How many lines can join 12 points?12 điểm nối được bao nhiêu đoạn thẳng?
    Show answerXem đáp án6666. 12 × 11 ÷ 2.12 × 11 : 2.
  4. How many lines can join 20 points?20 điểm nối được bao nhiêu đoạn thẳng?
    Show answerXem đáp án190190. 20 × 19 ÷ 2.20 × 19 : 2.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. 8 friends each shake hands with every other friend once. How many handshakes?8 bạn, mỗi bạn bắt tay mọi bạn khác một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay?
    Show answerXem đáp án2828. 8 × 7 ÷ 2.8 × 7 : 2.
  2. 9 teams each play every other team once. How many games?9 đội, mỗi đội đấu với mọi đội khác một trận. Có bao nhiêu trận?
    Show answerXem đáp án3636. 9 × 8 ÷ 2.9 × 8 : 2.

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q20Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 20

Timed book set: 8 questions in 20 minutesBài trong sách, tính giờ: 8 câu trong 20 phút

Questions:Các câu: Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q16, Q18, Q19, Q20  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q17, Q20  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q20  ·  Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q16Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 16, câu 18, câu 19, câu 20  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 17, câu 20  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 20  ·  Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 16

Harder, optional: 5 questions in 18 minutesKhó hơn, không bắt buộc: 5 câu trong 18 phút

Questions:Các câu: Heat 4 (p. 47, answers p. 141): Q16, Q17, Q18, Q19, Q20Quốc gia đề 4 (tr. 47, đáp án tr. 141): câu 16, câu 17, câu 18, câu 19, câu 20

AnswersĐáp án

4.64.6: 1. 6; 2. 10; 3. 14; 4. 16; 5. 26; 6. 16; 7. 24; 8. 22; 9. 52; 10. 81. 6; 2. 10; 3. 14; 4. 16; 5. 26; 6. 16; 7. 24; 8. 22; 9. 52; 10. 8

4.74.7: 1. 2; 2. 8; 3. 2; 4. 3; 5. 4; 6. 3; 7. 0; 8. 4; 9. 16; 10. 51. 2; 2. 8; 3. 2; 4. 3; 5. 4; 6. 3; 7. 0; 8. 4; 9. 16; 10. 5

MixedTổng hợp: 1. 36; 2. 48; 3. 9; 4. 4; 5. 12; 6. 72; 7. 30; 8. 58; 9. 156; 10. 151. 36; 2. 48; 3. 9; 4. 4; 5. 12; 6. 72; 7. 30; 8. 58; 9. 156; 10. 15

4.54.5: 1. 15; 2. 45; 3. 6; 4. 21; 5. 66; 6. 190; 7. 28; 8. 361. 15; 2. 45; 3. 6; 4. 21; 5. 66; 6. 190; 7. 28; 8. 36

‹ DayNgày 14DayNgày 16 ›
DayNgày 16

Review: multiple choiceÔn tập: trắc nghiệm

About 30 minutes.Khoảng 30 phút. Review of Number theory and Geometry in the Preliminary Round style. Click an answer to check it. Then redo one question from the mistake notebook.Ôn tập Lý thuyết số và Hình học theo kiểu đề Vòng loại. Bấm vào đáp án để kiểm tra. Sau đó làm lại một câu trong sổ ghi lỗi sai.

  1. 34A divides by 9. What is A?34A chia hết cho 9. A bằng bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án22. Digit sum 7 + A must be 9.Tổng các chữ số 7 + A phải bằng 9.
  2. How many factors does 18 have?18 có bao nhiêu ước?
    Show answerXem đáp án66. 1×18, 2×9, 3×6.1×18, 2×9, 3×6.
  3. a ⊗ b = a × b − a. Find 6 ⊗ 3.a ⊗ b = a × b − a. Tìm 6 ⊗ 3.
    Show answerXem đáp án1212. 18 − 6.18 − 6.
  4. A + B = 63 and A is 8 times B. Find A.A + B = 63 và A gấp 8 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án5656. 9 parts, 1 part is 7.9 phần, 1 phần bằng 7.
  5. Last digit of 3 × 3 × … × 3 (22 threes)Chữ số tận cùng của 3 × 3 × … × 3 (22 số 3)
    Show answerXem đáp án99. 22 ÷ 4 leaves 2.22 : 4 dư 2.
  6. How many rectangles are in a grid with 2 rows and 6 columns?Lưới có 2 hàng và 6 cột có bao nhiêu hình chữ nhật?
    Show answerXem đáp án6363. 3 × 21.3 × 21.
  7. A pyramid has 12 faces. How many edges?Một hình chóp có 12 mặt. Hình chóp có bao nhiêu cạnh?
    Show answerXem đáp án2222. Base has 11 sides. 2 × 11.Đáy có 11 cạnh. 2 × 11.
  8. A square has perimeter 32. What is its area?Một hình vuông có chu vi 32. Diện tích là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án6464. Side 8.Cạnh bằng 8.
  9. A rectangle has area 40. What is the smallest perimeter?Một hình chữ nhật có diện tích 40. Chu vi nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án2626. 5 × 8.5 × 8.
  10. A 2 by 2 by 2 cube of small cubes has how many outside squares?Hình lập phương 2 nhân 2 nhân 2 gồm các hình nhỏ có bao nhiêu hình vuông bên ngoài?
    Show answerXem đáp án2424. (4 + 4 + 4) × 2.(4 + 4 + 4) × 2.

AnswersĐáp án

ReviewÔn tập: 1. A (2); 2. D (6); 3. A (12); 4. C (56); 5. B (9); 6. B (63); 7. C (22); 8. C (64); 9. C (26); 10. B (24)1. A (2); 2. D (6); 3. A (12); 4. C (56); 5. B (9); 6. B (63); 7. C (22); 8. C (64); 9. C (26); 10. B (24)

‹ DayNgày 15DayNgày 17 ›
DayNgày 17
Combinatorics, day 1 of 3Tổ hợp, ngày 1/3

Routes and stairs and Counting special numbersĐường đi và cầu thang và Đếm các số đặc biệt

Counting mistakes usually come from a messy list. Insist on writing lists in order. If the child gets stuck on 5.3, act it out with coloured socks or cards.Lỗi đếm thường do liệt kê lộn xộn. Hãy yêu cầu con liệt kê theo thứ tự. Nếu con vướng ở bài 5.3, hãy thử làm thật với tất hoặc thẻ nhiều màu.

English words for this topicTừ tiếng Anh của chủ đề này
  • at least: ít nhất
  • ensure: chắc chắn
  • at random: ngẫu nhiên
  • even number: số chẵn
  • odd number: số lẻ
  • repetition: lặp lại
  • move up / right: đi lên / sang phải

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

5.1 Routes and stairsĐường đi và cầu thang

Bài toán đếm đường điRoutes and stairs

Routes: write a number at every corner. Each corner = the number from the corner before it, added from both directions. The edges are all 1s.
Stairs: the same idea. With 1 or 2 steps at a time, each step = the two steps before it added. A broken step gets 0.Đường đi: viết một số tại mỗi góc. Mỗi góc = tổng các số từ góc liền trước, theo cả hai hướng. Các góc ở rìa đều là 1.
Cầu thang: cùng ý tưởng đó. Nếu mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc, mỗi bậc = tổng của hai bậc trước. Bậc hỏng ghi số 0.

1111123413610141020
1111123413610141020
Why it worksVì sao đúng

Routes: you can only move up or right, so your last move into a corner came either from the corner on the left or from the corner below. Every route takes exactly one of those two, so the routes to this corner are those two totals added.Đường đi: em chỉ đi lên hoặc sang phải, nên bước cuối vào một góc đến từ góc bên trái hoặc góc bên dưới. Mỗi cách đi qua đúng một trong hai góc đó, nên số cách đến góc này bằng tổng hai số đó.

Edges: along the bottom or left edge, there is only one way to go, so those corners are all 1.Rìa lưới: dọc theo rìa dưới hoặc rìa trái chỉ có một cách đi, nên các góc đó đều là 1.

Stairs: your last move onto a step came from 1 step below or 2 steps below, so you add those two totals. If you can also take 3 steps, add three totals.Cầu thang: bước cuối lên một bậc đến từ 1 bậc dưới hoặc 2 bậc dưới, nên cộng hai số đó. Nếu đi được cả 3 bậc thì cộng ba số.

Broken step: nobody can stand on it, so 0 routes pass through it.Bậc hỏng: không ai đứng được trên đó, nên không có cách nào đi qua: ghi 0.

Worked exampleVí dụ
  1. The grid above: moving only up or right, there are 20 routes to the top right corner.Lưới ở trên: chỉ đi lên hoặc sang phải, có 20 cách đến góc trên bên phải.
  2. The table below: 8 stairs, step 5 is broken. There are 10 ways.Bảng dưới đây: cầu thang 8 bậc, bậc 5 bị hỏng. Có 10 cách.
Step12345678
Ways123505510
Bậc12345678
Số cách123505510
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Moving only up or right, how many routes cross a grid 2 squares wide and 3 squares tall?Chỉ đi lên hoặc sang phải, có bao nhiêu cách đi qua lưới rộng 2 ô và cao 3 ô?
    Show answerXem đáp án1010. Fill in the corners.Điền số vào các góc.
  2. How many routes cross a grid 3 squares wide and 4 squares tall?Có bao nhiêu cách đi qua lưới rộng 3 ô và cao 4 ô?
    Show answerXem đáp án3535. Fill in the corners.Điền số vào các góc.
  3. 5 stairs, taking 1 or 2 steps at a time. How many ways?Cầu thang 5 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án88. 1, 2, 3, 5, 8.1, 2, 3, 5, 8.
  4. 8 stairs, taking 1 or 2 steps at a time, and step 4 is broken. How many ways?Cầu thang 8 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc, bậc 4 bị hỏng. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án99. 1, 2, 3, 0, 3, 3, 6, 9.1, 2, 3, 0, 3, 3, 6, 9.
  5. 5 stairs, taking 1, 2 or 3 steps at a time. How many ways?Cầu thang 5 bậc, mỗi lần đi 1, 2 hoặc 3 bậc. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án1313. Add the three steps before: 1, 2, 4, 7, 13.Cộng ba bậc trước: 1, 2, 4, 7, 13.
More practice (10)Luyện thêm (10)
  1. Moving only up or right, how many routes cross a grid 2 squares wide and 5 squares tall?Chỉ đi lên hoặc sang phải, có bao nhiêu cách đi qua lưới rộng 2 ô và cao 5 ô?
    Show answerXem đáp án2121. Fill in the corners.Điền số vào các góc.
  2. Moving only up or right, how many routes cross a grid 1 square wide and 6 squares tall?Chỉ đi lên hoặc sang phải, có bao nhiêu cách đi qua lưới rộng 1 ô và cao 6 ô?
    Show answerXem đáp án77. Fill in the corners.Điền số vào các góc.
  3. Moving only up or right, how many routes cross a grid 4 squares wide and 4 squares tall?Chỉ đi lên hoặc sang phải, có bao nhiêu cách đi qua lưới rộng 4 ô và cao 4 ô?
    Show answerXem đáp án7070. Fill in the corners.Điền số vào các góc.
  4. Moving only up or right, how many routes cross a grid 5 squares wide and 3 squares tall?Chỉ đi lên hoặc sang phải, có bao nhiêu cách đi qua lưới rộng 5 ô và cao 3 ô?
    Show answerXem đáp án5656. Fill in the corners.Điền số vào các góc.
  5. 6 stairs, taking 1 or 2 steps at a time. How many ways?Cầu thang 6 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án1313. 1, 2, 3, 5, 8, 13.1, 2, 3, 5, 8, 13.
  6. 9 stairs, taking 1 or 2 steps at a time, and step 6 is broken. How many ways?Cầu thang 9 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc, bậc 6 bị hỏng. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án1616. 1, 2, 3, 5, 8, 0, 8, 8, 16.1, 2, 3, 5, 8, 0, 8, 8, 16.
  7. 10 stairs, taking 1 or 2 steps at a time, and step 3 is broken. How many ways?Cầu thang 10 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc, bậc 3 bị hỏng. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án2626. 1, 2, 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26.1, 2, 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26.
  8. 6 stairs, taking 1, 2 or 3 steps at a time. How many ways?Cầu thang 6 bậc, mỗi lần đi 1, 2 hoặc 3 bậc. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án2424. 1, 2, 4, 7, 13, 24.1, 2, 4, 7, 13, 24.
  9. 7 stairs, taking 1, 2 or 3 steps at a time, and step 4 is broken. How many ways?Cầu thang 7 bậc, mỗi lần đi 1, 2 hoặc 3 bậc, bậc 4 bị hỏng. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án1616. 1, 2, 4, 0, 6, 10, 16.1, 2, 4, 0, 6, 10, 16.
  10. 8 stairs, taking 1 or 2 steps at a time, and step 2 and step 5 are broken. How many ways?Cầu thang 8 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc, bậc 2 và bậc 5 bị hỏng. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án22. 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2.1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2.
Challenge (5)Thử thách (5)
  1. Moving only up or right from the bottom left to the top right, how many routes avoid the red corner?Chỉ đi lên hoặc sang phải từ góc dưới bên trái đến góc trên bên phải, có bao nhiêu cách tránh góc màu đỏ?
    Show answerXem đáp án88. Write 0 at the red corner and fill in the rest.Ghi 0 ở góc màu đỏ rồi điền các góc còn lại.
  2. Moving only up or right from the bottom left to the top right, how many routes avoid the red corner?Chỉ đi lên hoặc sang phải từ góc dưới bên trái đến góc trên bên phải, có bao nhiêu cách tránh góc màu đỏ?
    Show answerXem đáp án1717. Write 0 at the red corner and fill in the rest.Ghi 0 ở góc màu đỏ rồi điền các góc còn lại.
  3. Moving only up or right from the bottom left to the top right, how many routes pass through the large dot?Chỉ đi lên hoặc sang phải từ góc dưới bên trái đến góc trên bên phải, có bao nhiêu cách đi qua chấm lớn?
    Show answerXem đáp án99. Routes to the dot × routes from the dot to the end.Số cách đến chấm × số cách từ chấm đến đích.
  4. Moving only up or right from the bottom left to the top right, how many routes pass through the large dot?Chỉ đi lên hoặc sang phải từ góc dưới bên trái đến góc trên bên phải, có bao nhiêu cách đi qua chấm lớn?
    Show answerXem đáp án1818. Routes to the dot × routes from the dot to the end.Số cách đến chấm × số cách từ chấm đến đích.
  5. Mai has 6 sweets and eats 1 or 2 each day until they are gone. How many different ways can she do this?Mai có 6 cái kẹo và mỗi ngày ăn 1 hoặc 2 cái cho đến hết. Mai có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án1313. The same as 6 stairs: 1, 2, 3, 5, 8, 13.Giống cầu thang 6 bậc: 1, 2, 3, 5, 8, 13.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q24, Q25  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q24, Q25Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 24, câu 25  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 24, câu 25

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q25  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q21, Q23Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 25  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 21, câu 23

5.2 Counting special numbersĐếm các số đặc biệt

Đếm các số hoặc các trường hợp đặc biệtCounting special numbers

List in order so nothing is missed. For digit sums or products, first find which sets of digits work, then count how each set can be arranged. A 3-digit number cannot start with 0.Liệt kê theo thứ tự để không bỏ sót. Với tổng hoặc tích các chữ số, trước hết tìm bộ chữ số phù hợp, rồi đếm số cách sắp xếp mỗi bộ. Số có 3 chữ số không thể bắt đầu bằng 0.

Why it worksVì sao đúng

Each number has exactly one set of digits, so sorting by sets means no number is counted twice or missed.Mỗi số có đúng một bộ chữ số, nên phân loại theo bộ thì không đếm trùng và không bỏ sót.

Arranging {1, 2, 3}: 3 choices for the first digit, then 2, then 1 gives 6. In {1, 1, 6} the two 1s look the same, so all that matters is where the 6 goes: 3 places.Sắp xếp {1, 2, 3}: chữ số đầu có 3 cách, rồi 2, rồi 1, được 6. Trong {1, 1, 6} hai số 1 giống nhau, nên chỉ cần biết số 6 ở đâu: 3 vị trí.

Contains a digit: 33 appears in both the 30s and the numbers ending in 3. It is one number, so count it once.Chứa một chữ số: 33 có mặt ở cả nhóm 30 và nhóm tận cùng là 3. Đó chỉ là một số, nên đếm một lần.

No leading 0: 012 is really just 12, a 2-digit number.Không bắt đầu bằng 0: 012 thật ra chỉ là 12, một số có 2 chữ số.

Worked exampleVí dụ
  1. How many 3-digit numbers have digit product 6? The digit sets are {1, 1, 6} and {1, 2, 3}.Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà tích các chữ số bằng 6? Các bộ chữ số là {1, 1, 6} và {1, 2, 3}.
  2. {1, 1, 6}: 116, 161, 611, so 3 numbers. {1, 2, 3}: 6 numbers.{1, 1, 6}: 116, 161, 611, tức 3 số. {1, 2, 3}: 6 số.
  3. Total: 9.Tổng cộng: 9.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. How many 2-digit numbers contain the digit 3?Có bao nhiêu số có 2 chữ số chứa chữ số 3?
    Show answerXem đáp án1818. 30 to 39 gives 10. Then 13, 23, 43, 53, 63, 73, 83, 93 gives 8 more.Từ 30 đến 39 có 10 số. Thêm 13, 23, 43, 53, 63, 73, 83, 93 là 8 số nữa.
  2. How many 2-digit numbers have digit sum 7?Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tổng các chữ số bằng 7?
    Show answerXem đáp án77. 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70.16, 25, 34, 43, 52, 61, 70.
  3. How many 3-digit numbers have digit sum 3?Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng 3?
    Show answerXem đáp án66. 102, 111, 120, 201, 210, 300.102, 111, 120, 201, 210, 300.
  4. How many 3-digit odd numbers have digit product 12?Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số mà tích các chữ số bằng 12?
    Show answerXem đáp án77. 143, 223, 261, 341, 413, 431, 621.143, 223, 261, 341, 413, 431, 621.
More practice (8)Luyện thêm (8)
  1. How many 2-digit numbers contain the digit 7?Có bao nhiêu số có 2 chữ số chứa chữ số 7?
    Show answerXem đáp án1818. 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87, 97.17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87, 97.
  2. How many 2-digit numbers have digit sum 5?Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tổng các chữ số bằng 5?
    Show answerXem đáp án55. 14, 23, 32, 41, 50.14, 23, 32, 41, 50.
  3. How many 2-digit numbers have digit sum 15?Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tổng các chữ số bằng 15?
    Show answerXem đáp án44. 69, 78, 87, 96.69, 78, 87, 96.
  4. How many 2-digit numbers have digit product 12?Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tích các chữ số bằng 12?
    Show answerXem đáp án44. 26, 34, 43, 62.26, 34, 43, 62.
  5. How many 2-digit numbers have two digits that differ by 7?Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà hai chữ số hơn kém nhau 7 đơn vị?
    Show answerXem đáp án55. 18, 29, 70, 81, 92.18, 29, 70, 81, 92.
  6. How many 3-digit numbers have digit sum 2?Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng 2?
    Show answerXem đáp án33. 101, 110, 200.101, 110, 200.
  7. How many 3-digit numbers have digit product 8?Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà tích các chữ số bằng 8?
    Show answerXem đáp án1010. 118, 124, 142, 181, 214, 222, 241, 412, 421, 811.118, 124, 142, 181, 214, 222, 241, 412, 421, 811.
  8. How many 3-digit even numbers have digit product 10?Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số mà tích các chữ số bằng 10?
    Show answerXem đáp án22. 152, 512.152, 512.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. How many times is the digit 1 written from 1 to 20?Từ 1 đến 20, chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
    Show answerXem đáp án1212. 1, 10, 11 (twice), 12 to 19.1, 10, 11 (hai lần), 12 đến 19.
  2. How many times is the digit 7 written from 1 to 100?Từ 1 đến 100, chữ số 7 được viết bao nhiêu lần?
    Show answerXem đáp án2020. 10 times in the ones place and 10 in the tens place.10 lần ở hàng đơn vị và 10 lần ở hàng chục.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q22  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q22  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q21Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 22  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 22  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 21

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q21  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q22  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q21Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 21  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 22  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 21

AnswersĐáp án

5.15.1: 1. 10; 2. 35; 3. 8; 4. 9; 5. 13; 6. 21; 7. 7; 8. 70; 9. 56; 10. 13; 11. 16; 12. 26; 13. 24; 14. 16; 15. 2; 16. 8; 17. 17; 18. 9; 19. 18; 20. 131. 10; 2. 35; 3. 8; 4. 9; 5. 13; 6. 21; 7. 7; 8. 70; 9. 56; 10. 13; 11. 16; 12. 26; 13. 24; 14. 16; 15. 2; 16. 8; 17. 17; 18. 9; 19. 18; 20. 13

5.25.2: 1. 18; 2. 7; 3. 6; 4. 7; 5. 18; 6. 5; 7. 4; 8. 4; 9. 5; 10. 3; 11. 10; 12. 2; 13. 12; 14. 201. 18; 2. 7; 3. 6; 4. 7; 5. 18; 6. 5; 7. 4; 8. 4; 9. 5; 10. 3; 11. 10; 12. 2; 13. 12; 14. 20

‹ DayNgày 16DayNgày 18 ›
DayNgày 18
Combinatorics, day 2 of 3Tổ hợp, ngày 2/3

Worst-case thinking and Making numbersTrường hợp xấu nhất và Thành lập số

About 45 minutes.Khoảng 45 phút. Learn the lessons and do the Core exercises. Open More practice and Challenge if there is time.Học các bài và làm phần Cơ bản. Mở Luyện thêm và Thử thách nếu còn thời gian.

Warm-upKhởi động
  1. Moving only up or right, how many routes cross a grid 2 squares wide and 2 squares tall?Chỉ đi lên hoặc sang phải, có bao nhiêu cách đi qua lưới rộng 2 ô và cao 2 ô?
    Show answerXem đáp án66. Corners: 1, 1, 1, then 2, 3, 3, 6.Các góc: 1, 1, 1, rồi 2, 3, 3, 6.
  2. How many 2-digit numbers have digit sum 9?Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tổng các chữ số bằng 9?
    Show answerXem đáp án99. 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

5.3 Worst-case thinkingTrường hợp xấu nhất

Dạng toán trường hợp xấu nhấtWorst-case thinking

"To make sure" means imagine the unluckiest person in the world. Take everything you do not want first. Then add 1 more.
For "two numbers that add to X": count the pairs. Worst case is all the numbers with no partner, plus one number from each pair, plus 1."Chắc chắn" nghĩa là hãy tưởng tượng người kém may mắn nhất thế giới. Lấy hết những thứ em không muốn trước. Rồi lấy thêm 1.
Với "hai số có tổng bằng X": đếm số cặp. Trường hợp xấu nhất là mọi số không có cặp, cộng một số từ mỗi cặp, cộng thêm 1.

Why it worksVì sao đúng

"To be sure" means the plan has to work even on the unluckiest day. If it works then, it works every time."Chắc chắn" nghĩa là cách làm phải đúng cả trong ngày xui xẻo nhất. Đúng trong ngày đó thì lúc nào cũng đúng.

On the worst day you pull out everything you do not want first. Once those run out, only what you want is left, so every next pull is a success.Trong ngày xấu nhất, em lấy hết những thứ không muốn trước. Khi chúng hết, chỉ còn thứ em muốn, nên lần lấy nào sau đó cũng được.

One fewer is not enough. In the example, 14 balls could be 5 red, 8 blue and only 1 green.Ít hơn một là không đủ. Trong ví dụ, 14 bóng có thể là 5 đỏ, 8 xanh và chỉ 1 lục.

Pairs: you can take one number from each pair safely, plus all the numbers with no partner. After that, every number left is the partner of one you hold, so the next one must complete a pair.Các cặp: em có thể lấy an toàn một số từ mỗi cặp, cộng tất cả các số không có cặp. Sau đó, mọi số còn lại đều là số cùng cặp với số em đang có, nên số tiếp theo chắc chắn tạo thành một cặp.

Worked exampleVí dụ
  1. A box has 5 red, 8 blue and 4 green balls. To be sure of 2 green: 5 + 8 + 2 = 15.Một hộp có 5 bóng đỏ, 8 bóng xanh và 4 bóng lục. Để chắc chắn có 2 bóng lục: 5 + 8 + 2 = 15.
  2. Numbers 5 to 14. To be sure two of them add to 15: the pairs are (5, 10), (6, 9), (7, 8).Các số từ 5 đến 14. Để chắc chắn có hai số có tổng bằng 15: các cặp là (5, 10), (6, 9), (7, 8).
  3. Worst case: the 4 with no partner (11, 12, 13, 14) + 3, one from each pair = 7. Plus 1 = 8.Trường hợp xấu nhất: 4 số không có cặp (11, 12, 13, 14) + 3 số, mỗi cặp một số = 7. Cộng 1 = 8.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. 6 red, 7 blue and 8 yellow balls. How many to be sure of 1 red?Có 6 bóng đỏ, 7 bóng xanh và 8 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 1 bóng đỏ?
    Show answerXem đáp án1616. 7 + 8 + 1.7 + 8 + 1.
  2. Same box. How many to be sure of 2 different colours?Vẫn hộp đó. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 2 màu khác nhau?
    Show answerXem đáp án99. All 8 yellow, then 1 more.Cả 8 bóng vàng, rồi thêm 1 bóng.
  3. Same box. How many to be sure of all 3 colours?Vẫn hộp đó. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có đủ 3 màu?
    Show answerXem đáp án1616. 8 + 7 + 1.8 + 7 + 1.
  4. A drawer has 10 white and 10 black socks. How many to be sure of a matching pair?Một ngăn kéo có 10 chiếc tất trắng và 10 chiếc tất đen. Cần lấy bao nhiêu chiếc để chắc chắn có một đôi cùng màu?
    Show answerXem đáp án33. 1 of each, then any sock matches.Mỗi màu 1 chiếc, rồi chiếc nào cũng thành đôi.
  5. Numbers 1 to 20. How many to be sure two of them add to 21?Các số từ 1 đến 20. Cần lấy bao nhiêu số để chắc chắn có hai số có tổng bằng 21?
    Show answerXem đáp án1111. 10 pairs. One from each, then 1 more.10 cặp. Mỗi cặp một số, rồi thêm 1.
  6. Challenge: numbers 8 to 30. How many to be sure two of them add to 20?Thử thách: các số từ 8 đến 30. Cần lấy bao nhiêu số để chắc chắn có hai số có tổng bằng 20?
    Show answerXem đáp án2222. Only 2 pairs: (8, 12), (9, 11). 23 numbers − 2 + 1.Chỉ có 2 cặp: (8, 12), (9, 11). 23 số − 2 + 1.
More practice (12)Luyện thêm (12)
  1. A box has 3 red, 8 blue and 6 yellow balls. How many balls to be sure of 1 red?Một hộp có 3 bóng đỏ, 8 bóng xanh và 6 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 1 bóng đỏ?
    Show answerXem đáp án1515. 8 + 6 + 1.8 + 6 + 1.
  2. A box has 5 red, 4 blue and 9 yellow balls. How many balls to be sure of 3 red?Một hộp có 5 bóng đỏ, 4 bóng xanh và 9 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 3 bóng đỏ?
    Show answerXem đáp án1616. 4 + 9 + 3.4 + 9 + 3.
  3. A box has 7 red, 2 blue and 10 yellow balls. How many balls to be sure of 2 blue?Một hộp có 7 bóng đỏ, 2 bóng xanh và 10 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 2 bóng xanh?
    Show answerXem đáp án1919. 7 + 10 + 2.7 + 10 + 2.
  4. A box has 6 red, 6 blue and 5 yellow balls. How many balls to be sure of 2 different colours?Một hộp có 6 bóng đỏ, 6 bóng xanh và 5 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 2 màu khác nhau?
    Show answerXem đáp án77. 6 + 1.6 + 1.
  5. A box has 12 red, 3 blue and 4 yellow balls. How many balls to be sure of 2 different colours?Một hộp có 12 bóng đỏ, 3 bóng xanh và 4 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 2 màu khác nhau?
    Show answerXem đáp án1313. 12 + 1.12 + 1.
  6. A box has 5 red, 9 blue and 7 yellow balls. How many balls to be sure of all 3 colours?Một hộp có 5 bóng đỏ, 9 bóng xanh và 7 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có đủ 3 màu?
    Show answerXem đáp án1717. 9 + 7 + 1.9 + 7 + 1.
  7. A box has 10 red, 4 blue and 8 yellow balls. How many balls to be sure of all 3 colours?Một hộp có 10 bóng đỏ, 4 bóng xanh và 8 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có đủ 3 màu?
    Show answerXem đáp án1919. 10 + 8 + 1.10 + 8 + 1.
  8. A box has 4 red, 4 blue and 4 yellow balls. How many balls to be sure of 2 balls of the same colour?Một hộp có 4 bóng đỏ, 4 bóng xanh và 4 bóng vàng. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 2 bóng cùng màu?
    Show answerXem đáp án44. 1 of each colour is 3, then 1 more.Mỗi màu 1 bóng là 3, rồi thêm 1.
  9. Numbers 1 to 16. How many to be sure two of them add to 17?Các số từ 1 đến 16. Cần lấy bao nhiêu số để chắc chắn có hai số có tổng bằng 17?
    Show answerXem đáp án99. 16 numbers, 8 pairs. 16 − 8 + 1.16 số, 8 cặp. 16 − 8 + 1.
  10. Numbers 1 to 24. How many to be sure two of them add to 25?Các số từ 1 đến 24. Cần lấy bao nhiêu số để chắc chắn có hai số có tổng bằng 25?
    Show answerXem đáp án1313. 24 numbers, 12 pairs. 24 − 12 + 1.24 số, 12 cặp. 24 − 12 + 1.
  11. Numbers 10 to 25. How many to be sure two of them add to 35?Các số từ 10 đến 25. Cần lấy bao nhiêu số để chắc chắn có hai số có tổng bằng 35?
    Show answerXem đáp án99. 16 numbers, 8 pairs. 16 − 8 + 1.16 số, 8 cặp. 16 − 8 + 1.
  12. Numbers 5 to 30. How many to be sure two of them add to 20?Các số từ 5 đến 30. Cần lấy bao nhiêu số để chắc chắn có hai số có tổng bằng 20?
    Show answerXem đáp án2222. 26 numbers, 5 pairs. 26 − 5 + 1.26 số, 5 cặp. 26 − 5 + 1.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. A pack has 4 suits of 13 cards. How many cards to be sure of 2 cards in the same suit?Một bộ bài có 4 chất, mỗi chất 13 lá. Cần rút bao nhiêu lá để chắc chắn có 2 lá cùng chất?
    Show answerXem đáp án55. 1 of each suit is 4, then 1 more.Mỗi chất 1 lá là 4, rồi thêm 1.
  2. In the same pack, how many cards to be sure of a heart?Với bộ bài đó, cần rút bao nhiêu lá để chắc chắn có 1 lá cơ?
    Show answerXem đáp án4040. All 39 others, then 1 more.Cả 39 lá khác, rồi thêm 1.

From the book:Trong sách: Prelim 1 (p. 5, answers p. 131): Q21  ·  Prelim 2 (p. 10, answers p. 132): Q21  ·  Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q22Vòng loại đề 1 (tr. 5, đáp án tr. 131): câu 21  ·  Vòng loại đề 2 (tr. 10, đáp án tr. 132): câu 21  ·  Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 22

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q23  ·  Heat 2 (p. 41, answers p. 139): Q24Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 23  ·  Quốc gia đề 2 (tr. 41, đáp án tr. 139): câu 24

5.4 Making numbersThành lập số

Thành lập sốMaking numbers

Draw one box per digit. Fill the fussiest box first: the last digit if the number must be odd or even, the first digit if 0 is around. Multiply the choices.
Even numbers with a 0 available: do "ends in 0" and "does not end in 0" separately, then add.Vẽ mỗi chữ số một ô. Điền ô khó tính nhất trước: chữ số cuối nếu số phải lẻ hoặc chẵn, chữ số đầu nếu có số 0. Rồi nhân số cách chọn.
Với số chẵn khi có chữ số 0: tính riêng "tận cùng là 0" và "tận cùng khác 0", rồi cộng lại.

Why it worksVì sao đúng

Why multiply: each first-digit choice can go with every choice for the next digit. With 3 first digits and 3 next digits, that is 3 groups of 3, like branches on a tree.Vì sao nhân: mỗi cách chọn chữ số đầu đi được với mọi cách chọn chữ số tiếp theo. Với 3 chữ số đầu và 3 chữ số tiếp theo là 3 nhóm, mỗi nhóm 3 cách, giống các nhánh trên một cái cây.

Why choices shrink: with no repeats, each digit you use is gone, so the next box has one fewer choice.Vì sao số cách giảm dần: khi không được lặp, mỗi chữ số đã dùng là mất, nên ô tiếp theo ít đi một cách.

Why the fussiest box first: if you filled the first box freely, you would not know how many choices are left for a last digit that must be even, because it depends on what you already used.Vì sao điền ô khó tính nhất trước: nếu điền ô đầu tùy ý, em không biết còn bao nhiêu cách cho chữ số cuối phải chẵn, vì điều đó phụ thuộc vào chữ số đã dùng.

Why split the 0 case: if 0 is used at the end, the first box no longer has to avoid it, so it has one more choice. The two cases have different counts, so work them out separately and add.Vì sao tách trường hợp số 0: nếu số 0 dùng ở cuối, ô đầu không cần tránh nó nữa, nên có thêm một cách. Hai trường hợp có số cách khác nhau, nên tính riêng rồi cộng.

Worked exampleVí dụ
  1. Digits 0, 1, 2, 3, no repeats, 3-digit numbers: 3 × 3 × 2 = 18.Các chữ số 0, 1, 2, 3, không lặp lại, số có 3 chữ số: 3 × 3 × 2 = 18.
  2. Only the even ones. Ends in 0: 3 × 2 = 6. Ends in 2: first digit 1 or 3 (2 choices) × middle 2 choices = 4.Chỉ số chẵn. Tận cùng là 0: 3 × 2 = 6. Tận cùng là 2: chữ số đầu là 1 hoặc 3 (2 cách) × chữ số giữa 2 cách = 4.
  3. Total: 6 + 4 = 10.Tổng: 6 + 4 = 10.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Digits 1, 2, 3, 4, no repeats. How many 3-digit numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 4, không lặp lại. Có bao nhiêu số có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án2424. 4 × 3 × 2.4 × 3 × 2.
  2. Digits 1, 2, 3, 4, 5, no repeats. How many 3-digit odd numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, không lặp lại. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án3636. Last digit 3 choices, then 4 × 3.Chữ số cuối có 3 cách, rồi 4 × 3.
  3. Digits 0, 1, 2, 3, no repeats. How many 4-digit numbers?Các chữ số 0, 1, 2, 3, không lặp lại. Có bao nhiêu số có 4 chữ số?
    Show answerXem đáp án1818. 3 × 3 × 2 × 1.3 × 3 × 2 × 1.
  4. Digits 1, 2, 3, repeats allowed. How many 3-digit numbers?Các chữ số 1, 2, 3, được lặp lại. Có bao nhiêu số có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án2727. 3 × 3 × 3.3 × 3 × 3.
  5. Digits 0, 2, 4, 5, no repeats. How many 3-digit even numbers?Các chữ số 0, 2, 4, 5, không lặp lại. Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án1414. Ends in 0: 3 × 2 = 6. Ends in 2 or 4: 2 endings × 2 × 2 = 8.Tận cùng là 0: 3 × 2 = 6. Tận cùng là 2 hoặc 4: 2 cách × 2 × 2 = 8.
  6. How many ways can the letters of MATH be arranged?Các chữ cái của MATH có bao nhiêu cách sắp xếp?
    Show answerXem đáp án2424. 4 × 3 × 2 × 1.4 × 3 × 2 × 1.
More practice (12)Luyện thêm (12)
  1. Digits 1, 2, 3, 4, 5, no repeats. How many 3-digit numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, không lặp lại. Có bao nhiêu số có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án6060. 5 × 4 × 3.5 × 4 × 3.
  2. Digits 1, 2, 3, 4, no repeats. How many 4-digit numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 4, không lặp lại. Có bao nhiêu số có 4 chữ số?
    Show answerXem đáp án2424. 4 × 3 × 2 × 1.4 × 3 × 2 × 1.
  3. Digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, no repeats. How many 2-digit numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, không lặp lại. Có bao nhiêu số có 2 chữ số?
    Show answerXem đáp án3030. 6 × 5.6 × 5.
  4. Digits 1, 2, 3, 4, no repeats. How many 3-digit even numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 4, không lặp lại. Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án1212. Last digit 2 choices, then 3 × 2.Chữ số cuối có 2 cách, rồi 3 × 2.
  5. Digits 1, 2, 3, 4, 5, no repeats. How many 4-digit odd numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, không lặp lại. Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số?
    Show answerXem đáp án7272. Last digit 3 choices, then 4 × 3 × 2.Chữ số cuối có 3 cách, rồi 4 × 3 × 2.
  6. Digits 0, 1, 2, 3, 4, no repeats. How many 3-digit numbers?Các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, không lặp lại. Có bao nhiêu số có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án4848. 4 × 4 × 3.4 × 4 × 3.
  7. Digits 0, 1, 2, 3, no repeats. How many 3-digit odd numbers?Các chữ số 0, 1, 2, 3, không lặp lại. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án88. Last digit 1 or 3, first digit 2 choices, middle 2 choices.Chữ số cuối là 1 hoặc 3, chữ số đầu 2 cách, chữ số giữa 2 cách.
  8. Digits 0, 1, 2, 3, 4, no repeats. How many 3-digit even numbers?Các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, không lặp lại. Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án3030. Ends in 0: 4 × 3 = 12. Ends in 2 or 4: 2 × 3 × 3 = 18.Tận cùng là 0: 4 × 3 = 12. Tận cùng là 2 hoặc 4: 2 × 3 × 3 = 18.
  9. Digits 1, 2, 3, 4, repeats allowed. How many 2-digit numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 4, được lặp lại. Có bao nhiêu số có 2 chữ số?
    Show answerXem đáp án1616. 4 × 4.4 × 4.
  10. Digits 0, 1, 2, repeats allowed. How many 3-digit numbers?Các chữ số 0, 1, 2, được lặp lại. Có bao nhiêu số có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án1818. 2 × 3 × 3.2 × 3 × 3.
  11. How many ways can the letters of STORE be arranged?Các chữ cái của STORE có bao nhiêu cách sắp xếp?
    Show answerXem đáp án120120. 5 × 4 × 3 × 2 × 1.5 × 4 × 3 × 2 × 1.
  12. Using digits 3, 5, 7, 8 once each, what is the largest difference between two 2-digit numbers?Dùng các chữ số 3, 5, 7, 8, mỗi chữ số một lần, hiệu lớn nhất của hai số có 2 chữ số là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án5252. 87 − 35.87 − 35.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. How many 3-digit numbers read the same forward and backward, like 121?Có bao nhiêu số có 3 chữ số đọc xuôi và ngược giống nhau, như 121?
    Show answerXem đáp án9090. First digit 9 choices, middle digit 10 choices.Chữ số đầu 9 cách, chữ số giữa 10 cách.
  2. How many 3-digit numbers have three different digits?Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà ba chữ số khác nhau?
    Show answerXem đáp án648648. 9 × 9 × 8.9 × 9 × 8.

From the book:Trong sách: Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q24  ·  Prelim 7 (p. 32, answers p. 137): Q24Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 24  ·  Vòng loại đề 7 (tr. 32, đáp án tr. 137): câu 24

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 1 (p. 37, answers p. 138): Q22, Q24  ·  Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q24Quốc gia đề 1 (tr. 37, đáp án tr. 138): câu 22, câu 24  ·  Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 24

AnswersĐáp án

Warm-upKhởi động: 1. 6; 2. 91. 6; 2. 9

5.35.3: 1. 16; 2. 9; 3. 16; 4. 3; 5. 11; 6. 22; 7. 15; 8. 16; 9. 19; 10. 7; 11. 13; 12. 17; 13. 19; 14. 4; 15. 9; 16. 13; 17. 9; 18. 22; 19. 5; 20. 401. 16; 2. 9; 3. 16; 4. 3; 5. 11; 6. 22; 7. 15; 8. 16; 9. 19; 10. 7; 11. 13; 12. 17; 13. 19; 14. 4; 15. 9; 16. 13; 17. 9; 18. 22; 19. 5; 20. 40

5.45.4: 1. 24; 2. 36; 3. 18; 4. 27; 5. 14; 6. 24; 7. 60; 8. 24; 9. 30; 10. 12; 11. 72; 12. 48; 13. 8; 14. 30; 15. 16; 16. 18; 17. 120; 18. 52; 19. 90; 20. 6481. 24; 2. 36; 3. 18; 4. 27; 5. 14; 6. 24; 7. 60; 8. 24; 9. 30; 10. 12; 11. 72; 12. 48; 13. 8; 14. 30; 15. 16; 16. 18; 17. 120; 18. 52; 19. 90; 20. 648

‹ DayNgày 17DayNgày 19 ›
DayNgày 19
Combinatorics, day 3 of 3Tổ hợp, ngày 3/3

Largest and smallest from digits and mixed practiceLớn nhất và nhỏ nhất từ các chữ số và luyện tập tổng hợp

About 60 minutes.Khoảng 60 phút. The mixed questions make the child work out which method fits. Any extra trick is mainly for the Heat Round.Các câu trộn lẫn khiến con phải tự nhận ra cần dùng cách nào. Mẹo thêm chủ yếu dành cho Vòng quốc gia.

5.6 Largest and smallest from digitsLớn nhất và nhỏ nhất từ các chữ số

Lớn nhất và nhỏ nhất từ các chữ sốLargest and smallest from digits

Largest sum: put the biggest digits in the highest places, one for each number.
Smallest difference: choose first digits that differ by 1. Then make the larger number as small as possible and the smaller number as large as possible.Tổng lớn nhất: đặt các chữ số lớn nhất vào hàng cao nhất, mỗi số một chữ số.
Hiệu nhỏ nhất: chọn hai chữ số đầu hơn kém nhau 1. Rồi làm số lớn nhỏ nhất có thể và số bé lớn nhất có thể.

Why it worksVì sao đúng

A digit in the hundreds place is worth 100 times its value, while the same digit in the ones place is worth only itself. So high places matter most.Một chữ số ở hàng trăm có giá trị gấp 100 lần chính nó, còn ở hàng đơn vị chỉ bằng chính nó. Vì vậy các hàng cao quan trọng nhất.

For the difference, first digits that differ by 1 leave a gap of about 100. The rest of the digits then shrink that gap: a small ending on the big number and a large ending on the small number bring them closer together.Với hiệu, hai chữ số đầu hơn kém 1 tạo khoảng cách khoảng 100. Các chữ số còn lại thu hẹp khoảng cách đó: phần cuối nhỏ ở số lớn và phần cuối lớn ở số bé làm hai số gần nhau hơn.

Worked exampleVí dụ
  1. Digits 1 to 6, two 3-digit numbers. Largest sum: the 6 and 5 go first, then 4 and 3, then 2 and 1.Các chữ số từ 1 đến 6, hai số có 3 chữ số. Tổng lớn nhất: 6 và 5 đứng đầu, rồi 4 và 3, rồi 2 và 1.
  2. 641 + 532 = 1173.641 + 532 = 1173.
  3. Smallest difference: first digits 4 and 3. Then 412 and 365.Hiệu nhỏ nhất: hai chữ số đầu là 4 và 3. Rồi 412 và 365.
  4. 412 − 365 = 47.412 − 365 = 47.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Largest 4-digit number from 3, 8, 1, 6, each used once?Số lớn nhất có 4 chữ số từ 3, 8, 1, 6, mỗi chữ số dùng một lần?
    Show answerXem đáp án86318631. Biggest digits first.Biggest digits first.
  2. Smallest 3-digit number from 0, 4, 7, each used once?Số nhỏ nhất có 3 chữ số từ 0, 4, 7, mỗi chữ số dùng một lần?
    Show answerXem đáp án407407. 0 cannot go first.0 cannot go first.
  3. Digits 1, 2, 3, 4 make two 2-digit numbers. What is the largest sum?Các chữ số 1, 2, 3, 4 tạo thành hai số có 2 chữ số. Tổng lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án7373. 42 + 31.42 + 31.
  4. Digits 1, 2, 3, 4 make two 2-digit numbers. What is the smallest difference?Các chữ số 1, 2, 3, 4 tạo thành hai số có 2 chữ số. Hiệu nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án77. 31 − 24.31 − 24.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. Digits 1, 2, 3, 4 make two 2-digit numbers. What is the smallest sum?Các chữ số 1, 2, 3, 4 tạo thành hai số có 2 chữ số. Tổng nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án3737. 24 + 13.24 + 13.
  2. Digits 2, 3, 5, 7 make two 2-digit numbers. What is the smallest difference?Các chữ số 2, 3, 5, 7 tạo thành hai số có 2 chữ số. Hiệu nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án88. 35 − 27.35 − 27.
  3. Digits 2 to 7 make two 3-digit numbers. What is the largest sum?Các chữ số từ 2 đến 7 tạo thành hai số có 3 chữ số. Tổng lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án13951395. 753 + 642.753 + 642.
  4. Digits 1 to 6 make two 3-digit numbers. What is the largest difference?Các chữ số từ 1 đến 6 tạo thành hai số có 3 chữ số. Hiệu lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án531531. 654 − 123.654 − 123.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. Digits 0 to 5 make two 3-digit numbers. What is the smallest difference?Các chữ số từ 0 đến 5 tạo thành hai số có 3 chữ số. Hiệu nhỏ nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án4747. 301 − 254.301 − 254.
  2. Digits 1 to 8 make two 4-digit numbers. What is the largest sum?Các chữ số từ 1 đến 8 tạo thành hai số có 4 chữ số. Tổng lớn nhất là bao nhiêu?
    Show answerXem đáp án1617316173. 8642 + 7531.8642 + 7531.

From the book:Trong sách: Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q25Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 25

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 7 (p. 57, answers p. 144): Q21  ·  Heat 5 (p. 50, answers p. 142): Q24Quốc gia đề 7 (tr. 57, đáp án tr. 144): câu 21  ·  Quốc gia đề 5 (tr. 50, đáp án tr. 142): câu 24

Mixed exercisesBài tập tổng hợp
  1. Moving only up or right, how many routes cross a grid 4 squares wide and 2 squares tall?Chỉ đi lên hoặc sang phải, có bao nhiêu cách đi qua lưới rộng 4 ô và cao 2 ô?
    Show answerXem đáp án1515. Fill in the corners.Điền số vào các góc.
  2. 7 stairs, taking 1 or 2 steps at a time. How many ways?Cầu thang 7 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án2121. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.
  3. 7 stairs, taking 1 or 2 steps at a time, and step 3 is broken. How many ways?Cầu thang 7 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc, bậc 3 bị hỏng. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án66. 1, 2, 0, 2, 2, 4, 6.1, 2, 0, 2, 2, 4, 6.
  4. How many 2-digit numbers have a tens digit 4 more than the ones digit?Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị 4 đơn vị?
    Show answerXem đáp án66. 40, 51, 62, 73, 84, 95.40, 51, 62, 73, 84, 95.
  5. How many 3-digit numbers have digit sum 5?Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng 5?
    Show answerXem đáp án1515. By first digit: 5 start with 1, 4 with 2, 3 with 3, 2 with 4, 1 with 5.Theo chữ số đầu: 5 số bắt đầu bằng 1, 4 số bằng 2, 3 số bằng 3, 2 số bằng 4, 1 số bằng 5.
  6. A box has 4 red, 9 blue and 5 green balls. How many to be sure of 3 red?Một hộp có 4 bóng đỏ, 9 bóng xanh và 5 bóng lục. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 3 bóng đỏ?
    Show answerXem đáp án1717. 9 + 5 + 3.9 + 5 + 3.
  7. Using that box, how many to be sure of all 3 colours?Vẫn hộp đó. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có đủ 3 màu?
    Show answerXem đáp án1515. 9 + 5 + 1.9 + 5 + 1.
  8. Numbers 1 to 30. How many to be sure two of them add to 31?Các số từ 1 đến 30. Cần lấy bao nhiêu số để chắc chắn có hai số có tổng bằng 31?
    Show answerXem đáp án1616. 15 pairs. One from each, then 1 more.15 cặp. Mỗi cặp một số, rồi thêm 1.
  9. Digits 0, 3, 5, 7, no repeats. How many 3-digit odd numbers?Các chữ số 0, 3, 5, 7, không lặp lại. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án1212. 3 endings × 2 first digits × 2 middle digits.3 cách chọn chữ số cuối × 2 cách chọn chữ số đầu × 2 cách chọn chữ số giữa.
  10. Digits 1 to 6, no repeats. How many 3-digit even numbers?Các chữ số từ 1 đến 6, không lặp lại. Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án6060. Last digit 3 choices, then 5 × 4.Chữ số cuối có 3 cách, rồi 5 × 4.
Extra trickMẹo thêm

5.5 Glued lettersDán chữ cái

Sắp xếp chữ cáiGlued letters

When letters must stay together, glue them into one block. Then arrange the block and the other letters.Khi các chữ cái phải đứng cạnh nhau, hãy dán chúng thành một khối. Rồi sắp xếp khối đó cùng các chữ cái còn lại.

Why it worksVì sao đúng

Letters that must stay together always move as one unit, so treat them as one item. Their inside order is already fixed, so it adds no extra choices. Then it is an ordinary arrangement: 3 items give 3 × 2 × 1.Các chữ cái phải đứng cạnh nhau luôn di chuyển cùng nhau, nên coi chúng là một phần tử. Thứ tự bên trong đã cố định, nên không thêm cách nào. Khi đó là bài sắp xếp bình thường: 3 phần tử có 3 × 2 × 1 cách.

Worked exampleVí dụ
  1. Arrange the letters of STAR with T and A kept together as TA. The block TA, S and R make 3 items.Sắp xếp các chữ cái của STAR sao cho T và A luôn đứng cạnh nhau theo thứ tự TA. Khối TA, S và R là 3 phần tử.
  2. 3 × 2 × 1 = 6 ways.3 × 2 × 1 = 6 cách.
CoreCơ bản Everyone does theseAi cũng làm phần này
  1. Arrange the letters of PLANT with PL kept together in that order. How many ways?Sắp xếp các chữ cái của PLANT sao cho PL đứng cạnh nhau theo thứ tự đó. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án2424. PL, A, N, T are 4 items: 4 × 3 × 2 × 1.PL, A, N, T là 4 phần tử: 4 × 3 × 2 × 1.
  2. How many ways can the letters of CLOUD be arranged?Các chữ cái của CLOUD có bao nhiêu cách sắp xếp?
    Show answerXem đáp án120120. 5 × 4 × 3 × 2 × 1.5 × 4 × 3 × 2 × 1.
More practice (4)Luyện thêm (4)
  1. Arrange the letters of BREAD with EA kept together in that order. How many ways?Sắp xếp các chữ cái của BREAD sao cho EA đứng cạnh nhau theo thứ tự đó. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án2424. EA and the others are 4 items: 4 × 3 × 2 × 1.EA và các chữ cái còn lại là 4 phần tử: 4 × 3 × 2 × 1.
  2. Arrange the letters of TRAIN with AI kept together in that order. How many ways?Sắp xếp các chữ cái của TRAIN sao cho AI đứng cạnh nhau theo thứ tự đó. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án2424. AI and the others are 4 items: 4 × 3 × 2 × 1.AI và các chữ cái còn lại là 4 phần tử: 4 × 3 × 2 × 1.
  3. Arrange the letters of PLANET with LA kept together in that order. How many ways?Sắp xếp các chữ cái của PLANET sao cho LA đứng cạnh nhau theo thứ tự đó. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án120120. LA and the others are 5 items: 5 × 4 × 3 × 2 × 1.LA và các chữ cái còn lại là 5 phần tử: 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
  4. Arrange the letters of FISH with SH kept together in that order. How many ways?Sắp xếp các chữ cái của FISH sao cho SH đứng cạnh nhau theo thứ tự đó. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án66. SH and the others are 3 items: 3 × 2 × 1.SH và các chữ cái còn lại là 3 phần tử: 3 × 2 × 1.
Challenge (2)Thử thách (2)
  1. 6 children stand in a line. Twins must stand next to each other, in either order. How many ways?6 bạn đứng thành hàng. Hai bạn sinh đôi phải đứng cạnh nhau, theo thứ tự nào cũng được. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án240240. 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 for the items, × 2 for the twins.5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cho các phần tử, × 2 cho cặp sinh đôi.
  2. Arrange the letters of MATHS with M and A next to each other, in either order. How many ways?Sắp xếp các chữ cái của MATHS sao cho M và A đứng cạnh nhau, theo thứ tự nào cũng được. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án4848. 24 × 2.24 × 2.

Harder (Heat Round):Khó hơn (Vòng quốc gia): Heat 3 (p. 44, answers p. 140): Q25Quốc gia đề 3 (tr. 44, đáp án tr. 140): câu 25

Timed book set: 8 questions in 20 minutesBài trong sách, tính giờ: 8 câu trong 20 phút

Questions:Các câu: Prelim 3 (p. 15, answers p. 133): Q24, Q25  ·  Prelim 4 (p. 20, answers p. 134): Q21, Q22, Q24, Q25  ·  Prelim 6 (p. 28, answers p. 136): Q23  ·  Prelim 7 (p. 32, answers p. 137): Q22Vòng loại đề 3 (tr. 15, đáp án tr. 133): câu 24, câu 25  ·  Vòng loại đề 4 (tr. 20, đáp án tr. 134): câu 21, câu 22, câu 24, câu 25  ·  Vòng loại đề 6 (tr. 28, đáp án tr. 136): câu 23  ·  Vòng loại đề 7 (tr. 32, đáp án tr. 137): câu 22

Harder, optional: 5 questions in 18 minutesKhó hơn, không bắt buộc: 5 câu trong 18 phút

Questions:Các câu: Heat 4 (p. 47, answers p. 141): Q21, Q22, Q23, Q24, Q25Quốc gia đề 4 (tr. 47, đáp án tr. 141): câu 21, câu 22, câu 23, câu 24, câu 25

AnswersĐáp án

5.65.6: 1. 8631; 2. 407; 3. 73; 4. 7; 5. 37; 6. 8; 7. 1395; 8. 531; 9. 47; 10. 161731. 8631; 2. 407; 3. 73; 4. 7; 5. 37; 6. 8; 7. 1395; 8. 531; 9. 47; 10. 16173

MixedTổng hợp: 1. 15; 2. 21; 3. 6; 4. 6; 5. 15; 6. 17; 7. 15; 8. 16; 9. 12; 10. 601. 15; 2. 21; 3. 6; 4. 6; 5. 15; 6. 17; 7. 15; 8. 16; 9. 12; 10. 60

5.55.5: 1. 24; 2. 120; 3. 24; 4. 24; 5. 120; 6. 6; 7. 240; 8. 481. 24; 2. 120; 3. 24; 4. 24; 5. 120; 6. 6; 7. 240; 8. 48

‹ DayNgày 18DayNgày 20 ›
DayNgày 20

Rest dayNgày nghỉ

No maths today. Play, read or go outside. Rest helps learning stick.Hôm nay không học toán. Hãy chơi, đọc sách hoặc ra ngoài. Nghỉ ngơi giúp nhớ bài lâu hơn.
‹ DayNgày 19DayNgày 21 ›
DayNgày 21

Preliminary Round testBài thi Vòng loại

60 minutes, plus 30 minutes to review.60 phút, cộng 30 phút xem lại. The lessons and exercises never use Preliminary paper 5, so all of it is new.Các bài học và bài tập không dùng đề vòng loại số 5, nên toàn bộ đề đều mới.

‹ DayNgày 20DayNgày 22 ›
DayNgày 22

Fix your Preliminary mistakesSửa lỗi bài thi Vòng loại

About 40 minutes.Khoảng 40 phút. Use yesterday's test to decide what to study.Dùng bài thi hôm qua để quyết định cần học gì.

‹ DayNgày 21DayNgày 23 ›
DayNgày 23

Rest dayNgày nghỉ

No maths today. Play, read or go outside. Rest helps learning stick.Hôm nay không học toán. Hãy chơi, đọc sách hoặc ra ngoài. Nghỉ ngơi giúp nhớ bài lâu hơn.
‹ DayNgày 22DayNgày 24 ›
DayNgày 24

Heat Round testBài thi Vòng quốc gia

90 minutes, plus 30 minutes to review.90 phút, cộng 30 phút xem lại. Heat paper 6 is also new. If 90 minutes is too long, split it into questions 1 to 15 and 16 to 25 with a break, and note that it was split.Đề vòng quốc gia số 6 cũng hoàn toàn mới. Nếu 90 phút quá dài, hãy chia thành câu 1 đến 15 và câu 16 đến 25 với một lần nghỉ, và ghi chú lại là đã chia.

‹ DayNgày 23DayNgày 25 ›
DayNgày 25

Fix your Heat mistakesSửa lỗi bài thi Vòng quốc gia

About 40 minutes.Khoảng 40 phút. Use yesterday's test to decide what to study.Dùng bài thi hôm qua để quyết định cần học gì.

‹ DayNgày 24DayNgày 26 ›
DayNgày 26

Final review and test-day tipsÔn tập cuối và mẹo ngày thi

About 40 minutes.Khoảng 40 phút. A last mixed set, then a calm evening. Do not start a new paper today.Một phần tổng hợp cuối cùng, rồi một buổi tối thư thái. Hôm nay đừng làm đề mới.

  1. Find the 8th term of 1, 2, 4, 7, 11, …Tìm số hạng thứ 8 của dãy 1, 2, 4, 7, 11, …
    Show answerXem đáp án2929. The gaps are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Các khoảng cách là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
  2. Today is Monday. What day was it 40 days ago?Hôm nay là thứ Hai. 40 ngày trước là thứ mấy?
    Show answerXem đáp ánWednesdayThứ Tư. 40 ÷ 7 leaves 5. Count back 5 days.40 : 7 dư 5. Đếm lùi 5 ngày.
  3. 18 × 6 + 36 × 218 × 6 + 36 × 2
    Show answerXem đáp án180180. 36 × 2 = 18 × 4, so 18 × 10.36 × 2 = 18 × 4, nên bằng 18 × 10.
  4. 4 + 8 + 16 + … + 1284 + 8 + 16 + … + 128
    Show answerXem đáp án252252. 2 × 128 − 4.2 × 128 − 4.
  5. A − B = 40 and A is 5 times B. Find A.A − B = 40 và A gấp 5 lần B. Tìm A.
    Show answerXem đáp án5050. 4 extra parts, 1 part is 10.4 phần hơn, 1 phần bằng 10.
  6. Giving 6 sweets each leaves 2. Giving 5 each leaves 9. How many sweets?Chia mỗi bạn 6 cái kẹo thì dư 2. Chia mỗi bạn 5 cái thì dư 9. Có bao nhiêu cái kẹo?
    Show answerXem đáp án4444. 7 children. 7 × 6 + 2.7 bạn. 7 × 6 + 2.
  7. A grid has 3 rows and 3 columns. How many rectangles contain the middle cell?Lưới có 3 hàng và 3 cột. Có bao nhiêu hình chữ nhật chứa ô ở giữa?
    Show answerXem đáp án1616. 2 × 2 × 2 × 2.2 × 2 × 2 × 2.
  8. 8 stairs, taking 1 or 2 steps at a time. How many ways?Cầu thang 8 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách?
    Show answerXem đáp án3434. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
  9. A box has 6 red, 5 blue and 7 green balls. How many to be sure of 2 blue?Một hộp có 6 bóng đỏ, 5 bóng xanh và 7 bóng lục. Cần lấy bao nhiêu bóng để chắc chắn có 2 bóng xanh?
    Show answerXem đáp án1515. 6 + 7 + 2.6 + 7 + 2.
  10. Digits 1, 2, 3, 5, no repeats. How many 3-digit odd numbers?Các chữ số 1, 2, 3, 5, không lặp lại. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số?
    Show answerXem đáp án1818. Last digit 3 choices, then 3 × 2.Chữ số cuối có 3 cách, rồi 3 × 2.

Test-day tipsMẹo ngày thi

AnswersĐáp án

Final reviewÔn tập cuối: 1. D (29); 2. D (Wednesday); 3. A (180); 4. D (252); 5. A (50); 6. C (44); 7. A (16); 8. C (34); 9. B (15); 10. C (18)1. D (29); 2. D (Thứ Tư); 3. A (180); 4. D (252); 5. A (50); 6. C (44); 7. A (16); 8. C (34); 9. B (15); 10. C (18)

‹ DayNgày 25Whole planToàn bộ kế hoạch ›