TIMO Grade 4 Study PlanKế hoạch ôn thi TIMO Khối 4

Full groups always end at a multiple of the group size. For A B C, groups end at positions 3, 6, 9, and so on. So position 99 is the end of a group (a C), and position 100 is one step into the next group, which is an A.Các nhóm đủ luôn kết thúc ở một bội của số phần tử trong nhóm. Với A B C, các nhóm kết thúc ở vị trí 3, 6, 9, v.v. Vậy vị trí 99 là cuối một nhóm (chữ C), và vị trí 100 là bước đầu của nhóm tiếp theo, tức chữ A.

That is what the remainder measures: how many steps past the last finished group you are. Remainder 0 means you stopped exactly at the end of a group, so you are on the last item.Số dư chính là số bước em đi quá nhóm đủ gần nhất. Dư 0 nghĩa là em dừng đúng ở cuối nhóm, nên đó là phần tử cuối.

For growing patterns, every number is the one before it plus a gap. If you can predict the next gap, you can build the next number.Với dãy tăng dần, mỗi số bằng số trước cộng một khoảng cách. Nếu đoán được khoảng cách tiếp theo, em sẽ tìm được số tiếp theo.

After exactly 7 days it is the same weekday again, and the same after 14, 21 or any full number of weeks. 100 days is 98 days and 2 more. Those 98 days are 14 full weeks, which land back on Wednesday, so only the 2 extra days change anything.Sau đúng 7 ngày lại trở về cùng một thứ, sau 14, 21 ngày hay bất kỳ số tuần đủ nào cũng vậy. 100 ngày là 98 ngày và thêm 2 ngày. 98 ngày đó là đúng 14 tuần, trở lại thứ Tư, nên chỉ 2 ngày thêm mới làm thứ thay đổi.

Everyone gets one year older each year, so the gap between two people never changes.Mỗi năm ai cũng thêm một tuổi, nên hiệu số tuổi của hai người không bao giờ đổi.

If Dad is Mum + 4, then the total 70 is Mum + Mum + 4. Take away the extra 4 and you have two equal Mums, so divide by 2.Nếu tuổi bố = tuổi mẹ + 4, thì tổng 70 bằng tuổi mẹ + tuổi mẹ + 4. Bớt 4 đi là còn hai phần bằng nhau, nên chia cho 2.

Think of socks and shoes. You put socks on first and shoes second, but to undo it you take the shoes off first. The last thing done has to be undone first.Hãy nghĩ đến tất và giày. Em đi tất trước, đi giày sau, nhưng khi tháo thì phải tháo giày trước. Việc làm sau cùng phải được làm ngược đầu tiên.

Each opposite step cancels: adding 5 and then subtracting 5 gets you back to where you were, and multiplying by 3 and then dividing by 3 does too.Mỗi bước ngược triệt tiêu bước xuôi: cộng 5 rồi trừ 5 sẽ trở về chỗ cũ, nhân 3 rồi chia 3 cũng vậy.

If half was taken away, what is left is the other half. Two halves make the whole, so you double.Nếu một nửa đã bị lấy đi, phần còn lại là nửa kia. Hai nửa là cả phần, nên ta gấp đôi.

Swapping one chicken for one rabbit keeps the number of animals the same but adds exactly 2 legs, because 4 − 2 = 2. So every swap fixes exactly 2 of the missing legs. That is why you divide by 2.Đổi một con gà thành một con thỏ thì số con vật không đổi nhưng thêm đúng 2 chân, vì 4 − 2 = 2. Vậy mỗi lần đổi bù đúng 2 chân còn thiếu. Đó là lý do chia cho 2.

The same idea works for anything with two values. Swapping a $2 note for a $5 note adds $3, so there you divide by 3. Always divide by the difference between the two values.Ý tưởng này đúng với mọi bài có hai giá trị. Đổi tờ $2 thành tờ $5 thì thêm $3, nên ở đó chia cho 3. Luôn chia cho hiệu của hai giá trị.

One log starts as 1 piece, and every cut makes exactly one more piece. After 1 cut you have 2 pieces, after 2 cuts you have 3. So cuts are always one fewer than pieces, and it is the cuts that take time, not the pieces.Khúc gỗ lúc đầu là 1 phần, và mỗi nhát cắt tạo thêm đúng một phần. Sau 1 nhát có 2 phần, sau 2 nhát có 3 phần. Vậy số nhát cắt luôn ít hơn số phần một đơn vị, và thời gian tính theo nhát cắt, không phải theo phần.

For weights, swapping 1 apple for 3 oranges of the same weight leaves the scale unchanged. Once everything is the same fruit, it is a simple division.Với cân nặng, đổi 1 quả táo lấy 3 quả cam cùng khối lượng thì cân không thay đổi. Khi tất cả là cùng một loại quả, bài toán chỉ còn một phép chia.

Picture bags with 25 sweets each. 25 × 7 is 7 bags and 25 × 5 is 5 more bags, which makes 12 bags. Take away 2 bags and you have 10 bags of 25. You only needed to count bags.Hãy tưởng tượng các túi, mỗi túi có 25 cái kẹo. 25 × 7 là 7 túi và 25 × 5 là thêm 5 túi, tất cả 12 túi. Bớt 2 túi còn 10 túi, mỗi túi 25 cái. Em chỉ cần đếm số túi.

Dividing works the same way when the group size is the same. Putting 29 sweets into groups of 7 and then 41 sweets into groups of 7 gives the same number of groups as putting all of them in together.Phép chia cũng vậy khi cỡ nhóm giống nhau. Chia 29 cái kẹo thành các nhóm 7 cái, rồi chia 41 cái thành các nhóm 7 cái, cũng được số nhóm bằng khi gộp tất cả lại rồi mới chia.

120 ÷ 2 + 120 ÷ 3 cannot be joined because the group sizes differ. Groups of 2 and groups of 3 are different things to count, like adding bags of different sizes.120 : 2 + 120 : 3 không gộp được vì cỡ nhóm khác nhau. Nhóm 2 cái và nhóm 3 cái là hai thứ khác nhau, giống như cộng các túi có cỡ khác nhau.

How many: think of hopping along the numbers. From 5 to 32 is 27, and each hop is 3, so that is 9 hops. You also stand on the starting number before any hop, so there are 9 + 1 = 10 numbers.Có bao nhiêu số: hãy nghĩ đến việc nhảy dọc theo các số. Từ 5 đến 32 là 27, mỗi bước nhảy là 3, vậy có 9 bước. Em còn đứng ở số đầu trước khi nhảy, nên có 9 + 1 = 10 số.

Sum: write the sum forward, then backward underneath it. 5 + 32, then 8 + 29, then 11 + 26: every column adds to the same 37. With 10 columns that is 37 × 10, but we wrote the sum twice, so divide by 2.Tổng: viết tổng theo chiều xuôi, rồi viết ngược ở bên dưới. 5 + 32, rồi 8 + 29, rồi 11 + 26: cột nào cũng có tổng là 37. Có 10 cột nên được 37 × 10, nhưng ta đã viết tổng hai lần, nên chia cho 2.

Mountain: look at the slanted lines in the square of dots. Going across, they hold 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 dots. That is the mountain sum, and it counts every dot in a 4 × 4 square.Hình núi: nhìn các đường chéo trong hình vuông chấm. Lần lượt chúng có 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 chấm. Đó là tổng hình núi, và nó đếm mọi chấm trong hình vuông 4 × 4.

Plus-minus: each number is the same distance below the one before it, so every minus pair gives the same answer. You count pairs and multiply.Cộng trừ xen kẽ: mỗi số cách số trước cùng một khoảng, nên mọi cặp đều cho cùng một kết quả. Em đếm số cặp rồi nhân.

Doubling every number in the sum gives the same list moved along by one, because the double of each number is the next number. So S and 2 × S share 6, 12, 24 and 48.Gấp đôi mỗi số trong tổng sẽ được chính dãy đó lệch đi một vị trí, vì gấp đôi mỗi số là số tiếp theo. Vậy S và 2 × S có chung 6, 12, 24 và 48.

When you subtract, those shared numbers cancel. Only the new last number (96) and the old first number (3) are left. Also, 2 × S − S is just one S, so the answer is S.Khi trừ, các số chung triệt tiêu. Chỉ còn số cuối mới (96) và số đầu cũ (3). Ngoài ra, 2 × S − S chính là một S, nên kết quả là S.

If the numbers triple, use 3 × S. Then 3 × S − S is 2 × S, so you need one extra step: divide by 2.Nếu các số gấp ba, hãy dùng 3 × S. Khi đó 3 × S − S là 2 × S, nên cần thêm một bước: chia cho 2.

Adding and multiplying can be done in any order, so you are free to choose the easy order. 25 × 17 × 4 and 25 × 4 × 17 have the same answer.Phép cộng và phép nhân làm theo thứ tự nào cũng được, nên em được chọn thứ tự dễ. 25 × 17 × 4 và 25 × 4 × 17 có cùng kết quả.

In a × and ÷ string, every number with × goes on top and every number with ÷ goes underneath. That is why a number must keep the sign in front of it when it moves: the sign says which side it belongs on.Trong dãy × và :, mọi số có dấu × nằm trên tử, mọi số có dấu : nằm dưới mẫu. Vì vậy mỗi số phải giữ dấu đứng trước nó khi di chuyển: dấu đó cho biết số thuộc phía nào.

In digit puzzles, you start with the ones because nothing carries into them. Ten ones make one ten, so a ones total above 9 passes 1 to the tens column.Với bài ẩn chữ số, ta bắt đầu từ hàng đơn vị vì không có gì nhớ vào hàng này. Mười đơn vị là một chục, nên tổng hàng đơn vị lớn hơn 9 sẽ nhớ 1 sang hàng chục.

Digit sums: 372 is 3 hundreds, 7 tens and 2. Since 100 = 99 + 1 and 10 = 9 + 1, we can write 372 = 3 × 99 + 7 × 9 + (3 + 7 + 2). The parts with 99 and 9 always divide by 3 and by 9, so only 3 + 7 + 2 decides the answer.Tổng các chữ số: 372 là 3 trăm, 7 chục và 2. Vì 100 = 99 + 1 và 10 = 9 + 1, ta viết được 372 = 3 × 99 + 7 × 9 + (3 + 7 + 2). Các phần có 99 và 9 luôn chia hết cho 3 và 9, nên chỉ 3 + 7 + 2 quyết định kết quả.

Last digits: every ten divides by 2 and by 5, so only the ones digit matters. Every 100 divides by 4, so only the last two digits matter. Every 1000 divides by 8, so only the last three digits matter.Các chữ số cuối: mỗi chục chia hết cho 2 và 5, nên chỉ chữ số hàng đơn vị là quan trọng. Mỗi trăm chia hết cho 4, nên chỉ hai chữ số cuối là quan trọng. Mỗi nghìn chia hết cho 8, nên chỉ ba chữ số cuối là quan trọng.

Passing two tests: 6 = 2 × 3, and 2 and 3 share no factor, so passing both is the same as dividing by 6. That is why 12 uses 3 and 4, not 2 and 6: 2 and 6 share a factor, and 18 passes both tests but does not divide by 12.Qua hai dấu hiệu: 6 = 2 × 3, và 2 với 3 không có ước chung lớn hơn 1, nên qua cả hai cũng là chia hết cho 6. Vì vậy 12 dùng 3 và 4, không dùng 2 và 6: 2 và 6 có ước chung, và 18 chia hết cho cả 2 và 6 nhưng không chia hết cho 12.

Factor pairs: if 3 divides 36, then 36 = 3 × 12, so 12 is a factor as well. Factors come in pairs. In 6 × 6 both numbers are the same, so it adds only one factor.Cặp ước: nếu 3 là ước của 36, thì 36 = 3 × 12, nên 12 cũng là ước. Các ước đi theo cặp. Trong 6 × 6, hai số giống nhau nên chỉ thêm một ước.

Counting "or": a number that divides by both 3 and 5 sits in both lists. Subtract that overlap, or it gets counted twice.Đếm "hoặc": số chia hết cho cả 3 và 5 có mặt trong cả hai danh sách. Hãy trừ phần trùng đó, nếu không nó sẽ bị đếm hai lần.

A symbol like ⊗ is a machine: put in two numbers, and it follows its rule. It needs real numbers to work, so (5 ⊗ 3) has to become a number before it can go in again. That is why brackets come first.Ký hiệu như ⊗ là một cái máy: đưa vào hai số, máy làm theo quy tắc. Máy cần số thật, nên (5 ⊗ 3) phải thành một số trước khi đưa vào lần nữa. Vì thế làm trong ngoặc trước.

Order matters because a and b can do different jobs. With a ★ b = a × 2 + b, 5 ★ 3 = 13 but 3 ★ 5 = 11.Thứ tự quan trọng vì a và b có thể làm việc khác nhau. Với a ★ b = a × 2 + b, 5 ★ 3 = 13 nhưng 3 ★ 5 = 11.

"A is 3 times B" means A is exactly three B-sized bars. So all the bars are the same size, and the problem is only about sharing equally."A gấp 3 lần B" nghĩa là A đúng bằng ba đoạn bằng B. Vậy mọi đoạn đều bằng nhau, và bài toán chỉ là chia đều.

With the sum, both numbers are included, so all the bars count: 3 + 1 = 4 bars make 48.Với tổng, cả hai số đều được tính, nên mọi đoạn đều tính: 3 + 1 = 4 đoạn bằng 48.

With the difference, line A and B up side by side. B's one bar matches one of A's bars and cancels. Only the extra 3 − 1 = 2 bars are left, and those make the difference.Với hiệu, xếp A và B cạnh nhau. Một đoạn của B khớp với một đoạn của A và triệt tiêu. Chỉ còn 3 − 1 = 2 đoạn hơn, và đó chính là hiệu.

Only the last digit matters: in 17 × 23, the tens parts all make numbers ending in 0. Only 7 × 3 = 21 can change the last digit, so 17 × 23 ends in 1.Chỉ chữ số cuối là quan trọng: trong 17 × 23, các phần hàng chục đều tạo ra số tận cùng là 0. Chỉ 7 × 3 = 21 mới thay đổi chữ số cuối, nên 17 × 23 tận cùng là 1.

Why it cycles: each new last digit depends only on the one before. With 7s: 7 × 7 ends in 9, 9 × 7 ends in 3, 3 × 7 ends in 1, 1 × 7 ends in 7. Now we are back at 7, so the same steps must happen again forever.Vì sao có chu kỳ: mỗi chữ số tận cùng mới chỉ phụ thuộc vào chữ số trước đó. Với số 7: 7 × 7 tận cùng là 9, 9 × 7 tận cùng là 3, 3 × 7 tận cùng là 1, 1 × 7 tận cùng là 7. Đã quay lại 7, nên các bước cứ lặp lại mãi.

The division then works just like a repeating pattern in lesson 1.1.Phép chia sau đó giống hệt dãy lặp lại ở bài 1.1.

Numbers in order balance around the middle. In 6, 7, 8, 9, 10, the 6 is 2 below 8 and the 10 is 2 above, so 6 + 10 = 8 + 8. In the same way, 7 + 9 = 8 + 8.Các số liền nhau cân bằng quanh số ở giữa. Trong 6, 7, 8, 9, 10, số 6 kém 8 là 2 và số 10 hơn 8 là 2, nên 6 + 10 = 8 + 8. Tương tự, 7 + 9 = 8 + 8.

So the total is the same as if every number were the middle one. That is why total ÷ how many gives the middle.Vậy tổng bằng như khi mọi số đều là số ở giữa. Đó là lý do tổng : số số hạng cho số ở giữa.

Across: look at one row with 3 columns, as in the picture. A shape 1 wide can sit in 3 places, 2 wide in 2 places, and 3 wide in only 1 place. That is 3 + 2 + 1 choices. With 4 columns it would be 4 + 3 + 2 + 1. That is where 1 + 2 + … + columns comes from.Theo chiều ngang: xét một hàng có 3 cột, như trong hình. Hình rộng 1 ô đặt được ở 3 vị trí, rộng 2 ô ở 2 vị trí, và rộng 3 ô chỉ ở 1 vị trí. Vậy có 3 + 2 + 1 cách. Với 4 cột sẽ là 4 + 3 + 2 + 1. Đó là nguồn gốc của 1 + 2 + … + số cột.

Up and down: the same thinking gives 1 + 2 + … + rows choices for the height and position going up and down.Theo chiều dọc: cùng cách nghĩ đó cho 1 + 2 + … + số hàng cách chọn chiều cao và vị trí.

Why multiply: every rectangle is one across choice and one up-and-down choice, and any two can go together. In the grid above, with 4 columns and 3 rows, each of the 10 across choices works with each of the 6 up-and-down choices, so there are 10 × 6 = 60.Vì sao nhân: mỗi hình chữ nhật là một cách chọn ngang và một cách chọn dọc, và hai cách bất kỳ đều ghép được. Trong lưới ở trên, với 4 cột và 3 hàng, mỗi cách trong 10 cách ngang đều đi được với mỗi cách trong 6 cách dọc, nên có 10 × 6 = 60.

Containing a marked cell: a rectangle is set by its 4 edges. The top edge must be at or above the cell, so it has as many choices as the cell's row number. The other three edges work the same way, and any choices can go together, so you multiply.Chứa ô đánh dấu: hình chữ nhật được xác định bởi 4 cạnh. Cạnh trên phải ở trên hoặc sát trên ô đó, nên số cách bằng số thứ tự hàng của ô. Ba cạnh còn lại cũng tương tự, và các cách chọn ghép được với nhau, nên ta nhân.

Pyramid: a base with n sides has n edges around it. Each of its n corners also has one edge going up to the tip, so that is n + n = 2 × n edges. Each base side has one triangle standing on it, and the base is one more face, so there are n + 1 faces.Hình chóp: đáy n cạnh có n cạnh xung quanh. Mỗi đỉnh trong n đỉnh của đáy có thêm một cạnh đi lên chóp, vậy có n + n = 2 × n cạnh. Trên mỗi cạnh đáy có một mặt tam giác, thêm mặt đáy nữa, nên có n + 1 mặt.

Cube: 4 edges on top, 4 on the bottom and 4 going up the sides make 12.Hình lập phương: 4 cạnh ở trên, 4 cạnh ở dưới và 4 cạnh đứng là 12 cạnh.

Stacks: the cubes are all the same size, so a cube directly behind another one is exactly covered. In a line of stacks, the tallest stack sets how many squares you can see.Các chồng: các hình lập phương bằng nhau, nên hình nằm ngay sau hình khác bị che hoàn toàn. Trên một hàng, chồng cao nhất quyết định số hình vuông nhìn thấy.

Square: 4 equal sides make the perimeter, so divide by 4 to get one side.Hình vuông: 4 cạnh bằng nhau tạo nên chu vi, nên chia cho 4 được một cạnh.

Rectangle: walking around it you pass length, width, length, width. Half of the walk is exactly one length and one width.Hình chữ nhật: đi vòng quanh hình, em qua dài, rộng, dài, rộng. Nửa vòng đúng bằng một chiều dài và một chiều rộng.

Area: a 3 by 5 rectangle is 3 rows of 5 squares, so you multiply.Diện tích: hình chữ nhật 3 nhân 5 là 3 hàng, mỗi hàng 5 ô vuông, nên ta nhân.

Triangle: draw a line straight down from the top to the base. It makes two smaller triangles, and each one is exactly half of its own part of the surrounding rectangle. So the whole triangle is half the rectangle: base × height ÷ 2.Hình tam giác: kẻ một đường thẳng từ đỉnh xuống đáy. Đường này tạo ra hai tam giác nhỏ, mỗi tam giác đúng bằng một nửa phần hình chữ nhật của nó. Vậy cả tam giác bằng nửa hình chữ nhật: đáy × chiều cao : 2.

Cutting a square: 9 small squares fit as 3 rows of 3, because 3 × 3 = 9. So each big side is split into 3 small sides.Cắt hình vuông: 9 hình vuông nhỏ xếp thành 3 hàng, mỗi hàng 3 hình, vì 3 × 3 = 9. Vậy mỗi cạnh lớn được chia thành 3 cạnh nhỏ.

Long, thin rectangles have lots of edge and little inside. Compact ones are the opposite.Hình chữ nhật dài và mảnh có nhiều cạnh viền mà ít phần bên trong. Hình gần vuông thì ngược lại.

Area 36: 1 × 36 has perimeter 74, 2 × 18 has 40, 3 × 12 has 30, 4 × 9 has 26 and 6 × 6 has 24. The closer the sides, the shorter the edge.Diện tích 36: 1 × 36 có chu vi 74, 2 × 18 có 40, 3 × 12 có 30, 4 × 9 có 26 và 6 × 6 có 24. Hai cạnh càng gần nhau, viền càng ngắn.

Half perimeter 13: 1 × 12 = 12, 3 × 10 = 30, 5 × 8 = 40 and 6 × 7 = 42. With the same edge length, the closer the sides, the more space inside.Nửa chu vi 13: 1 × 12 = 12, 3 × 10 = 30, 5 × 8 = 40 và 6 × 7 = 42. Cùng độ dài viền, hai cạnh càng gần nhau thì bên trong càng rộng.

We have seen this in every list here without a full proof. A proof comes in later school years, but trying the pairs yourself always shows the answer.Ta đã thấy điều này trong mọi danh sách ở đây nhưng chưa chứng minh đầy đủ. Phần chứng minh sẽ học ở các lớp sau, còn tự thử các cặp số thì luôn tìm được đáp số.

Each of 5 points can join to the 4 others, which looks like 5 × 4 = 20 lines. But the line from A to B is the same line as the one from B to A, so every line was counted twice. That is why we divide by 2.Mỗi điểm trong 5 điểm nối được với 4 điểm còn lại, trông như có 5 × 4 = 20 đoạn. Nhưng đoạn từ A đến B cũng chính là đoạn từ B đến A, nên mỗi đoạn được đếm hai lần. Đó là lý do chia cho 2.

Routes: you can only move up or right, so your last move into a corner came either from the corner on the left or from the corner below. Every route takes exactly one of those two, so the routes to this corner are those two totals added.Đường đi: em chỉ đi lên hoặc sang phải, nên bước cuối vào một góc đến từ góc bên trái hoặc góc bên dưới. Mỗi cách đi qua đúng một trong hai góc đó, nên số cách đến góc này bằng tổng hai số đó.

Edges: along the bottom or left edge, there is only one way to go, so those corners are all 1.Rìa lưới: dọc theo rìa dưới hoặc rìa trái chỉ có một cách đi, nên các góc đó đều là 1.

Stairs: your last move onto a step came from 1 step below or 2 steps below, so you add those two totals. If you can also take 3 steps, add three totals.Cầu thang: bước cuối lên một bậc đến từ 1 bậc dưới hoặc 2 bậc dưới, nên cộng hai số đó. Nếu đi được cả 3 bậc thì cộng ba số.

Broken step: nobody can stand on it, so 0 routes pass through it.Bậc hỏng: không ai đứng được trên đó, nên không có cách nào đi qua: ghi 0.

Each number has exactly one set of digits, so sorting by sets means no number is counted twice or missed.Mỗi số có đúng một bộ chữ số, nên phân loại theo bộ thì không đếm trùng và không bỏ sót.

Arranging {1, 2, 3}: 3 choices for the first digit, then 2, then 1 gives 6. In {1, 1, 6} the two 1s look the same, so all that matters is where the 6 goes: 3 places.Sắp xếp {1, 2, 3}: chữ số đầu có 3 cách, rồi 2, rồi 1, được 6. Trong {1, 1, 6} hai số 1 giống nhau, nên chỉ cần biết số 6 ở đâu: 3 vị trí.

Contains a digit: 33 appears in both the 30s and the numbers ending in 3. It is one number, so count it once.Chứa một chữ số: 33 có mặt ở cả nhóm 30 và nhóm tận cùng là 3. Đó chỉ là một số, nên đếm một lần.

No leading 0: 012 is really just 12, a 2-digit number.Không bắt đầu bằng 0: 012 thật ra chỉ là 12, một số có 2 chữ số.

"To be sure" means the plan has to work even on the unluckiest day. If it works then, it works every time."Chắc chắn" nghĩa là cách làm phải đúng cả trong ngày xui xẻo nhất. Đúng trong ngày đó thì lúc nào cũng đúng.

On the worst day you pull out everything you do not want first. Once those run out, only what you want is left, so every next pull is a success.Trong ngày xấu nhất, em lấy hết những thứ không muốn trước. Khi chúng hết, chỉ còn thứ em muốn, nên lần lấy nào sau đó cũng được.

One fewer is not enough. In the example, 14 balls could be 5 red, 8 blue and only 1 green.Ít hơn một là không đủ. Trong ví dụ, 14 bóng có thể là 5 đỏ, 8 xanh và chỉ 1 lục.

Pairs: you can take one number from each pair safely, plus all the numbers with no partner. After that, every number left is the partner of one you hold, so the next one must complete a pair.Các cặp: em có thể lấy an toàn một số từ mỗi cặp, cộng tất cả các số không có cặp. Sau đó, mọi số còn lại đều là số cùng cặp với số em đang có, nên số tiếp theo chắc chắn tạo thành một cặp.

Why multiply: each first-digit choice can go with every choice for the next digit. With 3 first digits and 3 next digits, that is 3 groups of 3, like branches on a tree.Vì sao nhân: mỗi cách chọn chữ số đầu đi được với mọi cách chọn chữ số tiếp theo. Với 3 chữ số đầu và 3 chữ số tiếp theo là 3 nhóm, mỗi nhóm 3 cách, giống các nhánh trên một cái cây.

Why choices shrink: with no repeats, each digit you use is gone, so the next box has one fewer choice.Vì sao số cách giảm dần: khi không được lặp, mỗi chữ số đã dùng là mất, nên ô tiếp theo ít đi một cách.

Why the fussiest box first: if you filled the first box freely, you would not know how many choices are left for a last digit that must be even, because it depends on what you already used.Vì sao điền ô khó tính nhất trước: nếu điền ô đầu tùy ý, em không biết còn bao nhiêu cách cho chữ số cuối phải chẵn, vì điều đó phụ thuộc vào chữ số đã dùng.

Why split the 0 case: if 0 is used at the end, the first box no longer has to avoid it, so it has one more choice. The two cases have different counts, so work them out separately and add.Vì sao tách trường hợp số 0: nếu số 0 dùng ở cuối, ô đầu không cần tránh nó nữa, nên có thêm một cách. Hai trường hợp có số cách khác nhau, nên tính riêng rồi cộng.

Letters that must stay together always move as one unit, so treat them as one item. Their inside order is already fixed, so it adds no extra choices. Then it is an ordinary arrangement: 3 items give 3 × 2 × 1.Các chữ cái phải đứng cạnh nhau luôn di chuyển cùng nhau, nên coi chúng là một phần tử. Thứ tự bên trong đã cố định, nên không thêm cách nào. Khi đó là bài sắp xếp bình thường: 3 phần tử có 3 × 2 × 1 cách.